कैसे मिला: नीचे की भुजा पर 6 पहले से है, इसलिए दोनों निचले कोनों का योग 3 होना चाहिए — यह केवल 1 और 2 से बनता है। दाईं भुजा पर 5 है, इसलिए ऊपर और नीचे दाएँ कोने का योग 4 होगा — यानी 3 और 1।
ऐसा क्यों होता है: कोने की संख्या दो भुजाओं में आती है, इसलिए वह दो बार गिनी जाती है। कोनों पर छोटी संख्याएँ रखने से हर भुजा का योग छोटा रहता है।
प्र2.
पुनः 1 से 6 तक की संख्याओं का उपयोग कर रिक्त स्थानों में इस प्रकार की संख्याएँ भरिए कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का योग 10 हो।
उत्तर
दूसरा त्रिभुज, जिसके छहों गोले खाली छपे हैं।
तीनों कोनों पर 1, 3 और 5 तथा बीच में 2, 4 और 6 रखिए।
1 + 6 + 3 = 10 3 + 2 + 5 = 10 5 + 4 + 1 = 10
एक सही उत्तर। हर भुजा का योग 10 है।
ऐसा क्यों होता है: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21। तीनों भुजाओं का कुल योग 30 होता है, और बढ़े हुए 9 कोनों की संख्याएँ दुबारा गिनने से आते हैं। इसलिए कोनों का योग 9 होना चाहिए — और 1 + 3 + 5 = 9।
सुझाव: त्रिभुज घुमाकर भी रखा जा सकता है। कोनों पर 3, 5, 1 रखना भी वही उत्तर है।
प्र3.
क्या आप इन 6 अंकों का प्रयोग कर अन्य कोई योग बना सकते हैं?
उत्तर
दूसरा त्रिभुज, जिसके छहों गोले खाली छपे हैं।
1 से 6 तक की संख्याओं से भुजा का योग 9, 10, 11 या 12 बन सकता है — कुल चार योग।
ऐसा क्यों होता है: भुजा का योग केवल कोनों की तीन संख्याओं से तय होता है। सबसे छोटे कोने 1, 2, 3 और सबसे बड़े 4, 5, 6 हैं, इसलिए योग 9 से कम और 12 से अधिक नहीं हो सकता।
प्र4.
क्या आप त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का योग 12 बना सकते हैं? क्या आप त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का योग 13 बना सकते हैं?
उत्तर
दूसरा त्रिभुज, जिसके छहों गोले खाली छपे हैं।
12 हाँ, 13 नहीं।
12 के लिए कोनों पर 4, 5 और 6 तथा बीच में 1, 2 और 3 रखिए।
4 + 3 + 5 = 12 5 + 1 + 6 = 12 6 + 2 + 4 = 12
हर भुजा का योग 12 है।
ऐसा क्यों होता है: तीनों भुजाओं का कुल योग 21 और कोनों के योग को मिलाकर बनता है। हर भुजा 13 हो तो कुल 39 चाहिए, यानी कोनों का योग 18। पर सबसे बड़ी तीन संख्याएँ 4 + 5 + 6 = 15 ही देती हैं, इसलिए 13 संभव नहीं।
प्र5.
आपने संख्याओं को रखने के लिए क्या युक्ति अपनाई?
उत्तर
दूसरा त्रिभुज, जिसके छहों गोले खाली छपे हैं।
हर बार काम आने वाली युक्ति यह है।
पहले तीनों कोनों को देखिए। कोने की संख्या दो भुजाओं में गिनी जाती है।
छहों संख्याएँ जोड़िए: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21।
9 वाली तीन भुजाओं का कुल 27 होता है और 27 − 21 = 6। इसलिए कोनों का योग 6 होगा — यानी 1, 2 और 3।
फिर हर भुजा के बीच में वह संख्या रखिए जो उस भुजा को पूरा करे।
भुजा का योग 9 → कोनों का योग 6 भुजा का योग 10 → कोनों का योग 9 भुजा का योग 11 → कोनों का योग 12 भुजा का योग 12 → कोनों का योग 15
सुझाव: बड़ा योग चाहिए तो कोनों पर बड़ी संख्याएँ रखिए, छोटा योग चाहिए तो छोटी।