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कक्षा ५ गणित अध्याय 10 अभिकल्पना (डिजाइन) बनाना के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
(क) क्या अभिकल्पना में घूर्णन सममिति है? हाँ/नहीं
पृष्ठ 139 पर दी गई अभिकल्पना, जो वृत्तों और त्रिभुजों से बनी है।
उत्तर

नहीं। इस अभिकल्पना में घूर्णन सममिति नहीं है।

पहले अभिकल्पना को ध्यान से देखिए। इसमें बीच में एक वृत्त है, उसके चारों ओर चार त्रिभुज हैं, और दाईं ओर एक और छोटा वृत्त है।

पुस्तक में छपी अभिकल्पना
ध्यान दीजिए — बायाँ त्रिभुज भीतर की ओर है, दायाँ बाहर की ओर, और छोटा वृत्त केवल एक है, वह भी दाईं ओर।

चरण-दर-चरण जाँचिए:

  1. 1/4 घुमाकर देखिए। ऊपर वाला त्रिभुज दाईं ओर चला जाएगा। पर दाईं ओर पहले से ही दूसरी दिशा वाला त्रिभुज है और उसके आगे एक छोटा वृत्त भी। मेल नहीं खाता।
  2. 1/2 घुमाकर देखिए। दाईं ओर का छोटा वृत्त बाईं ओर चला जाएगा। बाईं ओर उसके बैठने के लिए कुछ है ही नहीं। मेल नहीं खाता।
  3. 3/4 घुमाकर देखिए। फिर भी मेल नहीं खाता।
  4. केवल पूरा घुमाव अभिकल्पना को वापस लाता है — और पूरा घुमाव नहीं गिना जाता।
1/4 घुमाव → मेल नहीं
1/2 घुमाव → मेल नहीं
3/4 घुमाव → मेल नहीं
पूरा घुमाव → मेल खाता है, पर यह तो हर आकृति में होता है
इसलिए: घूर्णन सममिति नहीं है
क्यों: घूर्णन सममिति के लिए हर टुकड़े का जोड़ीदार नई जगह पर पहले से मौजूद होना चाहिए। यहाँ दाईं ओर के अकेले छोटे वृत्त का कोई जोड़ीदार कहीं नहीं है। एक भी अकेला टुकड़ा सममिति बिगाड़ देता है।
पर यह सममिति से खाली नहीं है: अभिकल्पना को बीच से आर-पार मोड़िए। ऊपर वाला त्रिभुज नीचे वाले त्रिभुज पर बैठ जाता है और बगल के टुकड़े अपने ही ऊपर। इसलिए इसमें परावर्तन सममिति है — एक क्षैतिज सममिति रेखा।
प्र2.
(ख) कुछ आकृतियाँ जोड़कर अभिकल्पना (डिजाइन) को बदलने का प्रयत्न कीजिए ताकि 1/2 (आधा) घुमाने के बाद भी नई अभिकल्पना वैसी ही दिखाई दे। अपनी अभ्यास पुस्तिका में यह नवीन अभिकल्पनाएँ बनाइए।
पृष्ठ 139 पर दी गई अभिकल्पना, जो वृत्तों और त्रिभुजों से बनी है।
उत्तर

बाईं ओर एक छोटा वृत्त जोड़िए, और दाएँ त्रिभुज को घुमाकर बाएँ त्रिभुज की तरह भीतर की ओर कर दीजिए। तब हर टुकड़े का जोड़ीदार ठीक सामने आ जाएगा।

1/2 घुमाव पर समान दिखती है
लाल बिंदु केंद्र है। चित्र को उलटा कीजिए — वह बिल्कुल वैसा ही दिखेगा।

चरण-दर-चरण कैसे बनाएँ:

  1. अभिकल्पना को अपनी पुस्तिका में उतारिए।
  2. केंद्र चिह्नित कीजिए — बड़े वृत्त का मध्य।
  3. हर टुकड़े को देखकर पूछिए — केंद्र के ठीक दूसरी ओर इसके सामने क्या है?
  4. ऊपर का त्रिभुज ↔ नीचे का त्रिभुज। जोड़ी पहले से बनी है। ✓
  5. बायाँ त्रिभुज भीतर की ओर है पर दायाँ बाहर की ओर। दाएँ त्रिभुज को घुमाकर भीतर की ओर कर दीजिए। अब जोड़ी बन गई। ✓
  6. दाईं ओर के छोटे वृत्त के सामने कुछ नहीं है। बाईं ओर उतनी ही दूरी पर वैसा ही छोटा वृत्त जोड़िए। ✓
  7. अब जाँचिए — पुस्तिका को उलटा कीजिए। अभिकल्पना वैसी ही दिखेगी।
बदलने के बाद बनी जोड़ियाँ:
ऊपर का त्रिभुज ↔ नीचे का त्रिभुज
बायाँ त्रिभुज ↔ दायाँ त्रिभुज
बायाँ छोटा वृत्त ↔ दायाँ छोटा वृत्त
बड़ा वृत्त ↔ स्वयं (वह केंद्र पर ही बैठा है)
1/2 घुमाव वाली अभिकल्पना का नियम: हर टुकड़े का एक जुड़वाँ केंद्र के ठीक आर-पार, उतनी ही दूरी पर और उलटी दिशा में होना चाहिए। एक भी टुकड़ा अकेला रह गया तो आधा घुमाव उसे पकड़ लेगा।
एक और सही उत्तर: दाएँ त्रिभुज को घुमाने के बजाय आप दोनों ओर एक-एक त्रिभुज जोड़ सकते हैं ताकि दोनों ओर बो जैसी आकृतियाँ बन जाएँ, और साथ में बायाँ वृत्त भी जोड़ दीजिए। हर वह अभिकल्पना सही है जिसमें प्रत्येक टुकड़े का सामने जुड़वाँ हो।
प्र3.
(ग) अब इसमें कुछ परिवर्तन कीजिए अथवा अन्य आकृतियाँ जोड़िए, ताकि नई अभिकल्पना 1/4 घुमाव के बाद समान दिखाई दे। अपनी अभ्यास पुस्तिका में नई अभिकल्पनाएँ बनाइए।
पृष्ठ 139 पर दी गई अभिकल्पना, जो वृत्तों और त्रिभुजों से बनी है।
उत्तर

चारों भुजाओं को बिल्कुल एक जैसा बना दीजिए: ऊपर, दाएँ, नीचे और बाएँ — चारों ओर बाहर की ओर मुँह किए त्रिभुज, और हर त्रिभुज की नोक पर एक छोटा वृत्त।

हर 1/4 घुमाव पर समान दिखती है
चार एक जैसी भुजाएँ, केंद्र के चारों ओर बराबर दूरी पर।

चरण-दर-चरण कैसे बनाएँ:

  1. पन्ने के बीच में बड़ा वृत्त बनाइए और उसका केंद्र चिह्नित कीजिए।
  2. एक भुजा बनाइए — बाहर की ओर मुँह किया त्रिभुज और उसकी नोक पर छोटा वृत्त।
  3. वही भुजा हूबहू केंद्र के दाईं ओर बनाइए।
  4. फिर वही केंद्र के नीचे बनाइए, और एक बार बाईं ओर।
  5. चारों भुजाएँ एक ही आकार की और केंद्र से एक ही दूरी पर होनी चाहिए।
  6. अब अपनी पुस्तिका को एक-चौथाई घुमाइए। हर भुजा वहीं आ जाएगी जहाँ अगली भुजा थी, इसलिए अभिकल्पना वैसी ही दिखेगी।
बराबर भुजाओं की संख्या = 4
एक पूरा घुमाव ÷ 4 = 1/4 घुमाव
इसलिए वह 1/4, 1/2, 3/4 और पूरे घुमाव पर समान दिखेगी = पूरे घुमाव में 4 बार
4 बराबर भुजाओं से 1/4 घुमाव क्यों मिलता है: एक-चौथाई घुमाव भुजा 1 को भुजा 2 की जगह, भुजा 2 को भुजा 3 की जगह, भुजा 3 को भुजा 4 की जगह और भुजा 4 को भुजा 1 की जगह ले जाता है। चारों एक जैसी हैं, इसलिए कोई अंतर दिखता ही नहीं।
ध्यान दीजिए: जो अभिकल्पना 1/4 घुमाव पर समान दिखती है, वह 1/2 घुमाव पर भी समान दिखती है (दो चौथाई घुमाव मिलकर आधा घुमाव बनाते हैं)। इसलिए यह अभिकल्पना (ख) का उत्तर भी है।
प्र4.
(घ) क्या नई अभिकल्पनाओं में परावर्तन सममिति है? यदि हाँ, तो सममिति रेखाएँ खींचिए।
उत्तर

हाँ — दोनों नई अभिकल्पनाओं में परावर्तन सममिति है। 1/2 घुमाव वाली अभिकल्पना में 2 सममिति रेखाएँ हैं। 1/4 घुमाव वाली में 4।

अभिकल्पना (ख): 2 सममिति रेखाएँ अभिकल्पना (ग): 4 सममिति रेखाएँ
लाल बिंदुदार रेखाएँ मोड़ने की रेखाएँ हैं। इनमें से किसी पर भी मोड़िए, दोनों भाग मेल खाएँगे।

अभिकल्पना (ख) — हर रेखा जाँचिए:

  1. केंद्र से जाती खड़ी रेखा। बायाँ त्रिभुज दाएँ त्रिभुज पर और बायाँ वृत्त दाएँ वृत्त पर मुड़ जाता है। ✓
  2. केंद्र से जाती लेटी रेखा। ऊपर का त्रिभुज नीचे के त्रिभुज पर मुड़ जाता है। ✓
  3. इसलिए अभिकल्पना (ख) में 2 सममिति रेखाएँ हैं।

अभिकल्पना (ग) — हर रेखा जाँचिए:

  1. खड़ी रेखा: बाईं भुजा दाईं भुजा पर मुड़ती है। ✓
  2. लेटी रेखा: ऊपर की भुजा नीचे की भुजा पर मुड़ती है। ✓
  3. एक तिरछी रेखा: ऊपर की भुजा दाईं भुजा पर, बाईं भुजा नीचे की भुजा पर। ✓
  4. दूसरी तिरछी रेखा: ऊपर की भुजा बाईं भुजा पर, दाईं भुजा नीचे की भुजा पर। ✓
  5. इसलिए अभिकल्पना (ग) में 4 सममिति रेखाएँ हैं।
(ग) में अधिक रेखाएँ क्यों हैं: उसकी चारों भुजाएँ बिल्कुल एक जैसी हैं, इसलिए चारों दिशाओं में से किसी भी दिशा में मोड़ने पर भुजा भुजा पर ही बैठती है। (ख) में ऊपर-नीचे की जोड़ी और दाएँ-बाएँ की जोड़ी एक-दूसरे से अलग हैं, इसलिए केवल दो मोड़ काम करते हैं।
ज़रूरी बात: घूर्णन सममिति और परावर्तन सममिति हमेशा साथ-साथ नहीं आतीं। कोई अभिकल्पना 1/4 घुमाव पर समान दिख सकती है और फिर भी उसमें एक भी मोड़ने की रेखा न हो — ऐसी ही एक अभिकल्पना अगली गतिविधि में मिलेगी।
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