कक्षा ५ गणित अध्याय 7 टाइल्स लगाना व उन्हें प्रतिरूप में व्यवस्थित करना के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
नीचे दिए गए प्रतिरूप को देखिए। अंकित बिंदुओं पर कौन-सी आकृतियाँ एक साथ बनाई गई हैं? क्या इन बिंदुओं पर आकृतियों का समान समूह बनाया गया है? प्रतिरूप को पूरा कीजिए एवं उचित रूप से रंग भरिए।पृष्ठ 96 पर दिया गया बिंदुकित कागज और उस पर अंकित चार बिंदु। छपी हुई पुस्तक में इस कागज पर प्रतिरूप नहीं बना है — केवल अंकित बिंदु दिए गए हैं।
उत्तर
पहले पुस्तक के बारे में एक बात। छपे हुए पृष्ठ पर ऊपर वाला बिंदुकित बॉक्स खाली है — केवल चार लाल बिंदु दिखते हैं, टाइल्स छपी ही नहीं हैं। इसलिए वहाँ पढ़ने को कुछ है ही नहीं। इस प्रश्न के लिए उसी पृष्ठ का दूसरा प्रतिरूप (वर्ग व त्रिभुज वाला) देखिए, और नीचे दी गई विधि किसी भी प्रतिरूप पर लगाइए।
“किसी बिंदु पर क्या मिल रहा है” — इसका उत्तर कैसे दें
पेंसिल की नोक अंकित बिंदु पर रखिए।
घड़ी की सुई की तरह एक बार उसके चारों ओर घूमिए। जो-जो टाइल आए उसका नाम बोलिए।
अगले अंकित बिंदु पर भी यही कीजिए और दोनों सूचियाँ मिलाइए।
यदि दोनों सूचियों में वही आकृतियाँ उसी क्रम में हों, तो उत्तर है — “हाँ, हर बिंदु पर आकृतियों का समान समूह बनता है।”
कोनों के माप से जाँचिए: वर्ग का कोना = 90 · समबाहु त्रिभुज का कोना = 60 3 त्रिभुज + 2 वर्ग = 60 + 60 + 60 + 90 + 90 = 360 ✓
नमूना उत्तर: प्रत्येक अंकित बिंदु पर तीन समबाहु त्रिभुज और दो वर्ग एक साथ मिलते हैं। हर अंकित बिंदु पर वही पाँच आकृतियाँ मिलती हैं, अर्थात् प्रतिरूप पूरे क्षेत्र में एक जैसा है। इसे आगे बढ़ाने के लिए वर्ग व त्रिभुज इस तरह रखते जाइए कि हर नए कोने पर वही पाँच आकृतियों वाला समूह बने, फिर सभी वर्ग एक रंग में और सभी त्रिभुज दूसरे रंग में रंग दीजिए।
यदि आपकी पुस्तक में उस बॉक्स में प्रतिरूप छपा हो, तो उसी पर ये पाँच चरण लगाइए — हर लाल बिंदु के चारों ओर घूमिए, आकृतियाँ लिखिए, और सूचियाँ मिलाइए।
प्र2.
नीचे दिए गए चित्र में दो भिन्न आकृतियों — वर्ग व त्रिभुज का उपयोग करके टाइल्स लगाने का एक प्रतिरूप दिया गया है। क्या त्रिभुज समबाहु त्रिभुज हैं? यदि 'हाँ' तो क्यों और 'नहीं' तो क्यों नहीं?पृष्ठ 96 पर दिया गया प्रतिरूप; अंकित बिंदु लाल रंग में हैं।
उत्तर
हाँ, ये त्रिभुज समबाहु हैं — इनकी तीनों भुजाएँ समान हैं।
कारण तीन छोटे चरणों में:
प्रतिरूप का कोई भी त्रिभुज देखिए। उसकी हर भुजा किसी न किसी छूने वाले वर्ग की भी भुजा है।
वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए त्रिभुज की हर भुजा किसी वर्ग की भुजा के बराबर है।
प्रतिरूप के सभी वर्ग एक ही माप के हैं। अतः त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हैं — और “समबाहु” का अर्थ यही है।
हर नारंगी त्रिभुज की हर भुजा किसी बैंगनी वर्ग की भी भुजा है, इसलिए त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं।
प्रतिरूप क्यों चलता है: बड़े लाल बिंदु पर दो वर्ग और तीन त्रिभुज मिलते हैं। 90 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360, एक पूरा चक्कर। कोनों का जोड़ ठीक बैठने के कारण टाइल्स बिना खाली जगह और बिना आच्छादन के फर्श ढक लेती हैं।
स्वयं जाँचिए: चित्र में किसी त्रिभुज की भुजा और किसी वर्ग की भुजा स्केल से मापिए। दोनों बराबर निकलेंगी। शब्दों की जगह स्केल से किया गया यही प्रमाण है।
प्र3.
उपर्युक्त चित्र में अंकित बिंदुओं पर कौन-सी आकृतियाँ साथ में बनाई गई हैं? क्या इन बिंदुओं पर आकृतियों का समान समूह बनाया गया है? प्रतिरूप को पूरा कीजिए एवं उचित रूप से रंग भरिए।पृष्ठ 96 पर दिया गया प्रतिरूप; अंकित बिंदु लाल रंग में हैं।
उत्तर
प्रत्येक अंकित बिंदु पर तीन समबाहु त्रिभुज और दो वर्ग मिलते हैं। हाँ — हर अंकित बिंदु पर वही पाँच आकृतियाँ मिलती हैं।
ऊपर के चित्र में बड़े लाल बिंदु के चारों ओर घूमिए और गिनिए:
बिंदु के चारों ओर
आकृति
कोने का माप
पहली
वर्ग
90
दूसरी
त्रिभुज
60
तीसरी
वर्ग
90
चौथी
त्रिभुज
60
पाँचवीं
त्रिभुज
60
जोड़
2 वर्ग + 3 त्रिभुज
360
प्रतिरूप कैसे आगे बढ़ाएँ
ऐसा कोना खोजिए जो अभी पूरा न भरा हो। उसके चारों ओर पहले से बनी आकृतियाँ गिनिए।
पता कीजिए क्या कम है। हर कोने पर कुल 2 वर्ग और 3 त्रिभुज चाहिए।
छूटी हुई टाइल बनाइए, उसकी भुजा पहले से बनी किसी भुजा पर ठीक बैठाकर।
अगले अधूरे कोने पर जाइए और यही कीजिए।
रंग सबसे अंत में भरिए: सभी वर्ग एक रंग, सभी त्रिभुज दूसरा रंग।
हर जगह वही समूह क्यों बनता है: यह प्रतिरूप एक छोटे समूह को बार-बार दोहराकर बनाया गया है। समूह दोहराने से हर बिंदु दूसरे हर बिंदु जैसा ही बन जाता है — यही किसी रचना को प्रतिरूप बनाता है, वरना वह बस बिखराव होता।
सुझाव: बीच से बाहर की ओर, एक-एक घेरा पूरा करते हुए बढ़िए। इधर-उधर कूदेंगे तो ऐसे छेद बचेंगे जिन्हें बाद में भरना कठिन होगा।
प्र4.
आकृतियों के अन्य कटआउट लेकर समान प्रतिरूपों की रचना कीजिए।
उत्तर
पुस्तक के अंत की शीट के कटआउट लीजिए — वर्ग, समबाहु त्रिभुज, सम षट्भुज और सम पंचभुज।
चरण
अपनी आकृतियाँ चुनिए। पहले दो प्रकार से शुरू कीजिए, जैसे षट्भुज और त्रिभुज।
एक आकृति कागज के बीच में रखिए।
बगल-बगल आकृतियाँ जोड़िए, हमेशा पूरी भुजा को पूरी भुजा से मिलाते हुए। कोई कटआउट दूसरे पर न चढ़े।
हर कोने की जाँच कीजिए। वहाँ मिलने वाले कोनों का जोड़ 360 होना चाहिए — न खाली जगह, न आच्छादन।
कटआउट के चारों ओर पेंसिल फेरिए, उन्हें हटाइए और अपने प्रतिरूप में रंग भरिए।
नमूना उत्तर — चार प्रतिरूप जो चलते हैं
प्रतिरूप
प्रयुक्त आकृतियाँ
हर बिंदु पर क्या मिलता है
जाँच
1
केवल वर्ग
4 वर्ग
90 × 4 = 360
2
केवल त्रिभुज
6 त्रिभुज
60 × 6 = 360
3
षट्भुज व त्रिभुज
2 षट्भुज + 2 त्रिभुज
120 + 120 + 60 + 60 = 360
4
वर्ग व त्रिभुज
2 वर्ग + 3 त्रिभुज
90 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360
एक जो नहीं चलेगा: अकेले पंचभुज। इन्हें रखकर देखिए और हर बार बनती पतली खाली जगह देखिए। क्या नहीं चलता, यह जानना भी उतना ही उपयोगी है।