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गणित प्रकाश अध्याय 10 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
उपरोक्त दूसरे ग्रिड के लिए गणना कीजिए और सीमा योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर

दूसरा ग्रिड इस प्रकार है—

5– 3– 5
0– 5
– 8– 27
ऊपर की पंक्ति: 5 + (– 3) + (– 5) = – 3
अंतिम पंक्ति: (– 8) + (– 2) + 7 = – 3
बायाँ स्तंभ: 5 + 0 + (– 8) = – 3
दायाँ स्तंभ: (– 5) + (– 5) + 7 = – 3

उत्तर: दूसरे ग्रिड का सीमा योग – 3 है।

इसे ‘रिक्त’ ग्रिड क्यों कहते हैं: इसमें केवल सीमा पर की आठ संख्याएँ काम आती हैं — बीच वाला खाना किसी भी योग में नहीं आता।
प्र2.
आवश्यक सीमा योग बनाने के लिए ग्रिड को पूर्ण कीजिए— (i) – 10, ___, ___ / ___, ___, – 5 / 9, ___, ___ सीमा योग + 4 (ii) 6, 8, ___ / ___, ___, – 5 / ___, – 2, ___ सीमा योग – 2 (iii) 7, ___, ___ / ___, ___, – 5 / ___, ___, ___ सीमा योग – 4
उत्तर

पहले उस पंक्ति या स्तंभ को लीजिए जिसमें केवल एक संख्या लुप्त हो, फिर आगे बढ़िए।

(i) सीमा योग + 4 — बाएँ स्तंभ से शुरू कीजिए: – 10 + ? + 9 = 4, अत: बीच का बायाँ खाना 5 है।

– 10104
5– 5
9– 105
ऊपर: – 10 + 10 + 4 = 4 ✔   दायाँ: 4 + (– 5) + 5 = 4 ✔   नीचे: 9 + (– 10) + 5 = 4 ✔   बायाँ: – 10 + 5 + 9 = 4 ✔

(ii) सीमा योग – 2 — ऊपर की पंक्ति में केवल एक स्थान रिक्त है: 6 + 8 + ? = – 2, अत: वह – 16 है। इसके बाद बाकी सब निश्चित हो जाता है — इस ग्रिड का केवल एक उत्तर है।

68– 16
11– 5
– 19– 219
दायाँ: – 16 + (– 5) + 19 = – 2 ✔   नीचे: – 19 + (– 2) + 19 = – 2 ✔   बायाँ: 6 + 11 + (– 19) = – 2 ✔

(iii) सीमा योग – 4 — यहाँ आप स्वतंत्र रूप से संख्याएँ चुन सकते हैं। एक हल इस प्रकार है—

7– 2– 9
– 3– 5
– 8– 610
ऊपर: 7 + (– 2) + (– 9) = – 4 ✔   दायाँ: – 9 + (– 5) + 10 = – 4 ✔   नीचे: – 8 + (– 6) + 10 = – 4 ✔   बायाँ: 7 + (– 3) + (– 8) = – 4 ✔
प्र3.
उपरोक्त अंतिम ग्रिड में – 4 सीमा योग प्राप्त करने के लिए एक से अधिक तरीके बताइए।
उत्तर

अंतिम ग्रिड में केवल दो संख्याएँ निश्चित हैं — ऊपर बाएँ कोने में 7 और दाएँ स्तंभ के बीच में – 5। इसलिए बहुत छूट है। दो और तरीके देखिए—

तरीका 2

7– 110
– 11– 5
0– 51
ऊपर: 7 – 11 + 0 = – 4 ✔   दायाँ: 0 – 5 + 1 = – 4 ✔   नीचे: 0 – 5 + 1 = – 4 ✔   बायाँ: 7 – 11 + 0 = – 4 ✔

तरीका 3

7– 6– 5
– 9– 5
– 2– 86
ऊपर: 7 – 6 – 5 = – 4 ✔   दायाँ: – 5 – 5 + 6 = – 4 ✔   नीचे: – 2 – 8 + 6 = – 4 ✔   बायाँ: 7 – 9 – 2 = – 4 ✔
स्वयं बनाइए: ऊपर-दाएँ और नीचे-बाएँ कोनों में कोई भी दो संख्याएँ रख दीजिए। इसके बाद बाकी ग्रिड अपने आप तय हो जाता है, क्योंकि हर शेष खाना ऐसी पंक्ति या स्तंभ में होता है जिसमें केवल एक स्थान रिक्त बचता है।
प्र4.
कौन-सी अन्य ग्रिड विभिन्न विधियों से भरी जा सकती है? इसके क्या कारण हो सकते हैं?
उत्तर

पहला ग्रिड (सीमा योग + 4) और तीसरा ग्रिड (सीमा योग – 4) अनेक तरीकों से भरे जा सकते हैं। दूसरे ग्रिड (सीमा योग – 2) का केवल एक ही उत्तर है।

ग्रिडपहले से दी गई संख्याएँस्वतंत्र चुनावकितने हल
पहला (+ 4)3 संख्याएँ1अनेक
दूसरा (– 2)4 संख्याएँ0केवल एक
तीसरा (– 4)2 संख्याएँ2अनेक
कारण: कुल चार शर्तें हैं (ऊपर की पंक्ति, अंतिम पंक्ति, बायाँ स्तंभ, दायाँ स्तंभ)। प्रत्येक शर्त एक अज्ञात संख्या निकाल सकती है, अत: चार शर्तें चार अज्ञात तय कर सकती हैं। दूसरे ग्रिड में सीमा पर ठीक चार संख्याएँ लुप्त हैं, इसलिए सब कुछ निश्चित हो जाता है। अन्य दोनों ग्रिडों में शर्तों से अधिक संख्याएँ लुप्त हैं, इसलिए अतिरिक्त संख्याएँ अपनी इच्छा से चुनी जा सकती हैं और शेष स्वयं तय हो जाती हैं।
दूसरे शब्दों में: पहले ग्रिड में ऊपर-दायाँ कोना स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है; तीसरे ग्रिड में दो कोने।
प्र5.
एक सीमा पूर्णांक वर्ग पहेली बनाइए और इसे पूर्ण करने के लिए सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
उत्तर

ऐसी पहेली बनाने का सरल तरीका यह है—

  1. एक सीमा योग चुनिए, मान लीजिए – 6।
  2. पहले चारों कोनों की संख्याएँ चुनिए, जैसे ऊपर 2 और – 4 तथा नीचे – 3 और 1।
  3. अब प्रत्येक रेखा के बीच वाले खाने को इस प्रकार भरिए कि योग – 6 आए—
    ऊपर: 2 + ? + (– 4) = – 6 → ? = – 4
    नीचे: – 3 + ? + 1 = – 6 → ? = – 4
    बायाँ: 2 + ? + (– 3) = – 6 → ? = – 5
    दायाँ: – 4 + ? + 1 = – 6 → ? = – 3
  4. पूरा ग्रिड इस प्रकार बनेगा—
2– 4– 4
– 5– 3
– 3– 41

अब इनमें से तीन-चार संख्याएँ मिटा दीजिए, नीचे ‘सीमा योग – 6 है’ लिख दीजिए और अपने मित्र को दे दीजिए।

प्रयास करें: ठीक चार संख्याएँ मिटाइए तो पहेली का एक ही हल होगा। पाँच या अधिक मिटाइए तो आपके मित्र को कई हल मिलेंगे — दोनों ही रोचक हैं।
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