गणित प्रकाश अध्याय 8 संकेत

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
A) आँखें — बिंदु A और B वे स्थान हैं जहाँ परकार के सिरे को आँख के वक्रों को खींचते समय रखा जाता है। ध्यान रहे कि ऊपरी और निचले वक्र मिलकर एक सममित आकृति बनाएँ। ऐसा करने के लिए, इन बिंदुओं A और B को कहाँ रखा जाए या निर्धारित किया जाए? एक अनुमान लगाइए।
उत्तर

A और B को आँख के मध्य से जाते लंब पर रखना चाहिए — एक ऊपर और एक नीचे — तथा आँख के दोनों कोनों को मिलाने वाली रेखा से समान दूरी पर।

  • दो हल्की क्षैतिज सहायक रेखाएँ खींचिए और बीच वाली रेखा पर आँख के दोनों कोने अंकित कीजिए।
  • कोनों को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात करके वहाँ लंब खींचिए।
  • इस लंब पर आँख के ऊपर A अंकित कीजिए और ठीक उतनी ही दूरी नीचे B।
  • दोनों वक्रों के लिए एक ही खुलाव रखिए: ऊपरी वक्र B से और निचला वक्र A से।
इससे आँख सममित क्यों बनती है: दो वक्र तभी एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब होते हैं जब उनके केंद्र दर्पण-प्रतिबिंब हों और त्रिज्याएँ बराबर हों। A और B को क्षैतिज रेखा के दोनों ओर समान दूरी पर रखने से वे दर्पण-प्रतिबिंब बन जाते हैं, अत: ऊपरी और निचला वक्र ठीक मेल खाते हैं और दोनों कोनों पर मिल जाते हैं।
संकेत: A और B को आँख के पास लाने पर आँख मोटी बनती है और दूर ले जाने पर पतली, नींद-भरी। दोनों आज़माइए और जो अच्छा लगे वही रखिए — इसमें कई प्रयास लग सकते हैं।
प्र2.
B) रचना के उद्देश्य से, आइए हम भुजा की लंबाई 5 सेमी मान लेते हैं। हमें इस चार भुजा वाली आकृति को बनाने के लिए केवल एक और बिंदु की आवश्यकता है। माना कि वह बिंदु D है, जो बिंदु B और C से 5 सेमी दूरी पर होना चाहिए। इस तरह का बिंदु कैसे ज्ञात किया जा सकता है? क्या ‘घर’ समस्या में प्रयुक्त किसी भी विधि का प्रयोग यहाँ किया जा सकता है?
उत्तर

हाँ — यह ठीक ‘घर’ वाला ही विचार है। घर का शीर्ष A वह बिंदु था जो B और C दोनों से 5 सेमी दूर था; यहाँ D वह बिंदु है जो B और C दोनों से 5 सेमी दूर है।

  1. परकार में 5 सेमी लीजिए।
  2. नोंक B पर रखकर BC के दूसरी ओर एक चाप खींचिए।
  3. खुलाव बदले बिना नोंक C पर रखकर पहले चाप को काटता दूसरा चाप खींचिए।
  4. दोनों का कटान-बिंदु ही D है। BD और CD मिला दीजिए।
BD = 5 सेमी (D, B वाले चाप पर है)
CD = 5 सेमी (D, C वाले चाप पर है)
AB = AC = 5 सेमी होने से ABDC की चारों भुजाएँ 5 सेमी की हैं
केवल एक ही बिंदु शेष क्यों: चार में से तीन कोने (A, B और C) दो 5-5 सेमी के रेखाखंडों से पहले ही तय हो चुके हैं। चौथे कोने पर केवल दो ही शर्तें हैं — B से 5 सेमी और C से 5 सेमी — और दो चाप एक साथ दोनों शर्तें पूरी कर देते हैं। इससे जो आकृति बनती है वह समचतुर्भुज है, जो पृष्ठ 215 के प्रश्न 3 का भी उत्तर है।
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