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गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
दशमलव संख्याओं के इस अनुक्रम को देखिए तथा प्रत्येक पद के बाद हुए परिवर्तन की पहचान कीजिए — 4.4, 4.8, 5.2, 5.6, 6.0, … इस अनुक्रम को जारी रखते हुए अगले तीन पद लिखिए।
उत्तर
4.8 – 4.4 = 0.4
5.2 – 4.8 = 0.4
प्रत्येक बार परिवर्तन + 0.4 है।
6.0 + 0.4 = 6.4
6.4 + 0.4 = 6.8
6.8 + 0.4 = 7.2
अनुक्रम: 4.4, 4.8, 5.2, 5.6, 6.0, 6.4, 6.8, 7.2
ऐसा क्यों होता है: दशांशों में सोचिए — 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72। अंश हर बार केवल 4 बढ़ता है, जिससे मानसिक गणना सरल हो जाती है।
प्र2.
इसी प्रकार परिवर्तन की पहचान कीजिए और नीचे दिए गए प्रत्येक अनुक्रम के लिए अगले तीन पद लिखिए। इस गणना को मानसिक रूप से करने का प्रयास कीजिए। (a) 4.4, 4.45, 4.5, … (b) 25.75, 26.25, 26.75, … (c) 10.56, 10.67, 10.78, … (d) 13.5, 16, 18.5, … (e) 8.5, 9.4, 10.3, … (f) 5, 4.95, 4.90, … (g) 12.45, 11.95, 11.45, … (h) 36.5, 33, 29.5, …
उत्तर
परिवर्तनअगले तीन पद
(a) 4.4, 4.45, 4.5+ 0.054.55, 4.6, 4.65
(b) 25.75, 26.25, 26.75+ 0.527.25, 27.75, 28.25
(c) 10.56, 10.67, 10.78+ 0.1110.89, 11.00, 11.11
(d) 13.5, 16, 18.5+ 2.521, 23.5, 26
(e) 8.5, 9.4, 10.3+ 0.911.2, 12.1, 13.0
(f) 5, 4.95, 4.90– 0.054.85, 4.80, 4.75
(g) 12.45, 11.95, 11.45– 0.510.95, 10.45, 9.95
(h) 36.5, 33, 29.5– 3.526, 22.5, 19
ऐसा क्यों होता है: (c) में 0.11 की छलाँग से 10.78 + 0.11 = 10.89 और फिर 10.89 + 0.11 = 11.00 — शतांश दशांश में और दशांश इकाई में एक साथ हासिल दे देते हैं। (e) में 0.9 जोड़ना सबसे तेज़ी से "1 जोड़िए, फिर 0.1 घटाइए" के रूप में होता है।
संकेत: मानसिक गणना के लिए सबसे छोटी उपस्थित इकाई में गिनिए। अनुक्रम (a) 440, 445, 450, 455, 460, 465 शतांश है।
प्र3.
अपने स्वयं के अनुक्रम बनाइए तथा अपने सहपाठियों को प्रतिरूप (पैटर्न) का विस्तार करने के लिए चुनौती दीजिए।
उत्तर

एक प्रारंभिक संख्या और एक निश्चित परिवर्तन चुनिए, फिर केवल पहले तीन पद लिखिए।

आपका अनुक्रमछिपा नियमअगले तीन पद
2.05, 2.3, 2.55, …+ 0.252.8, 3.05, 3.3
9.009, 9.018, 9.027, …+ 0.0099.036, 9.045, 9.054
100.4, 99.6, 98.8, …– 0.898.0, 97.2, 96.4
0.5, 1.5, 1.4, 2.4, 2.3, …बारी-बारी +1 फिर –0.13.3, 3.2, 4.2
प्रयास करें: अंतिम पंक्ति अभ्यास के प्रश्न 10 जैसा दो-नियमों वाला पैटर्न है। ऐसे पैटर्न सबसे कठिन — और सबसे रोचक — होते हैं।
प्र4.
सोनू कहता है, “यदि हम दो दशमलव संख्याओं को जोड़ते हैं तो इनका योग सदैव इनकी पूर्ण संख्याओं वाले भागों के योग से बड़ा होगा। साथ ही यह योग इनकी पूर्ण संख्याओं वाले भागों के योग से 2 से अधिक संख्या से सदैव कम होगा।” उपरोक्त कथन के बारे में आप क्या सोचते हैं? जाँच कीजिए कि क्या यह इन संख्याओं के लिए सत्य है। क्या यह किन्हीं भी 2 दशमलव संख्याओं के लिए सही होगा? 25.93603259 और 8.202 के योग के बारे में क्या कह सकते हैं?
उत्तर

25.936 और 8.202 के लिए जाँच:

25.936 + 8.202 = 34.138
पूर्ण संख्या भागों का योग = 25 + 8 = 33
33 + 2 = 35
33 < 34.138 < 35 ✓ कथन सत्य है।

25.93603259 और 8.202 के लिए:

25.93603259 + 8.202 = 34.13803259
पुन: 33 < 34.13803259 < 35 ✓

क्या यह किन्हीं भी दो दशमलव संख्याओं के लिए सही है? लगभग।

मान लीजिए संख्याएँ A + f तथा B + g हैं, जहाँ A, B पूर्ण संख्या भाग हैं
तथा f, g भिन्नात्मक भाग हैं, अत: 0 ≤ f < 1 और 0 ≤ g < 1।
योग = (A + B) + (f + g)
क्योंकि 0 ≤ f + g < 2,
A + B ≤ योग < A + B + 2
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक भिन्नात्मक भाग 1 से कम है, अत: दोनों मिलकर भी 2 से कम ही जोड़ पाते हैं — योग कभी "पूर्ण भागों से 2 अधिक" तक पहुँच ही नहीं सकता। सोनू के कथन का यह ऊपरी भाग सदैव सत्य है।
स्वयं जाँचिए: निचले भाग में एक छोटा सुधार चाहिए। यदि दोनों संख्याएँ पूर्ण हों, जैसे 4.0 + 5.0 = 9, तो योग 9 से बड़ा नहीं बल्कि 9 के बराबर है। अत: सही कथन है "पूर्ण संख्या भागों के योग से बड़ा या उसके बराबर", और बराबरी तभी जब दोनों भिन्नात्मक भाग शून्य हों।
प्र5.
इस प्रकार पूर्ण संख्याओं की उस सीमा को कम करने की एक विधि विकसित कीजिए जिसमें दोनों दशमलव संख्याओं का अंतर स्थित होगा।
उत्तर

घटाव के लिए वही विचार लगाइए।

मान लीजिए संख्याएँ A + f तथा B + g हैं, 0 ≤ f < 1 और 0 ≤ g < 1।
अंतर = (A – B) + (f – g)
क्योंकि –1 < f – g < 1,
(A – B) – 1 < अंतर < (A – B) + 1

शब्दों में नियम: दो दशमलव संख्याओं का अंतर सदैव उनके पूर्ण संख्या भागों के अंतर से 1 के भीतर रहता है।

उदाहरणपूर्ण भागअनुमानित सीमावास्तविक अंतर
25.936 – 8.20225 – 8 = 1716 और 18 के बीच17.734 ✓
34.505 – 18.134 – 18 = 1615 और 17 के बीच16.405 ✓
17 – 16.19817 – 16 = 10 और 2 के बीच0.802 ✓
9.9 – 9.099 – 9 = 0–1 और 1 के बीच0.81 ✓
ऐसा क्यों होता है: भिन्नात्मक भागों का घटाव उत्तर को अधिक-से-अधिक 1 से कुछ कम नीचे खींच सकता है (जब f = 0 और g लगभग 1 हो) या 1 से कुछ कम ऊपर धकेल सकता है (जब f लगभग 1 और g = 0 हो)। अत: उत्तर A – B से पूरे 1 जितना कभी नहीं हटता।
संकेत: गणना से पहले इस प्रकार आकलन कर लेना दशमलव बिंदु की गलती पकड़ने का तेज़ उपाय है। यदि 34.505 – 18.1 का उत्तर 1.6405 आ जाए तो आकलन 16 तुरंत चेतावनी दे देगा।
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