गणित प्रकाश अध्याय 3 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

निम्नलिखित भिन्नों को दशमलवों में परिवर्तित कीजिए — (a) 5/100 (b) 16/1000 (c) 12/10 (d) 254/1000

उत्तर

	भिन्न	स्थानीय मान में विभाजन	दशमलव
(a)	⁵⁄₁₀₀	0 इकाई, 0 दशांश, 5 शतांश	0.05
(b)	¹⁶⁄₁₀₀₀	¹⁰⁄₁₀₀₀ + ⁶⁄₁₀₀₀ = ¹⁄₁₀₀ + ⁶⁄₁₀₀₀	0.016
(c)	¹²⁄₁₀	¹⁰⁄₁₀ + ²⁄₁₀ = 1 + ²⁄₁₀	1.2
(d)	²⁵⁴⁄₁₀₀₀	²⁄₁₀ + ⁵⁄₁₀₀ + ⁴⁄₁₀₀₀	0.254

ऐसा क्यों होता है: हर बताता है कि बिंदु के बाद कितने स्थान छोड़ने हैं — दशांश के लिए एक, शतांश के लिए दो, सहस्त्रांश के लिए तीन। अंश के अंक गिनिए और आवश्यकता हो तो बाईं ओर शून्य भरिए, जैसे (a) और (b) में।

प्र2.

निम्नलिखित दशमलवों को दशांशों, शतांशों और सहस्त्रांशों के एक योग के रूप में परिवर्तित कीजिए — (a) 0.34 (b) 1.02 (c) 0.8 (d) 0.362

उत्तर

(a) 0.34 = ³⁄₁₀ + ⁴⁄₁₀₀

(b) 1.02 = 1 + ⁰⁄₁₀ + ²⁄₁₀₀ = 1 + ²⁄₁₀₀ (अथवा ¹⁰⁰⁄₁₀₀ + ²⁄₁₀₀)

(c) 0.8 = ⁸⁄₁₀

(d) 0.362 = ³⁄₁₀ + ⁶⁄₁₀₀ + ²⁄₁₀₀₀

ऐसा क्यों होता है: बिंदु के बाद का प्रत्येक अंक अपने स्थानीय मान से गुणा होता है — पहला ¹⁄₁₀ से, दूसरा ¹⁄₁₀₀ से, तीसरा ¹⁄₁₀₀₀ से। (b) में दशांश का अंक 0 है, अत: वह पद स्वत: लुप्त हो जाता है।

प्र3.

नीचे दी गई संख्या रेखा में प्रत्येक अक्षर कौन-सी दशमलव संख्या को निरूपित करता है?

उत्तर

अंकित चिह्न 6.4, 6.5 और 6.6 एक-एक दशांश की दूरी पर हैं, तथा प्रत्येक दशांश 4 समान विभाजनों में बँटा है।

एक विभाजन का माप = 0.1 ÷ 4 = 0.025

a, 6.4 से 2 विभाजन आगे → 6.4 + 2 × 0.025 = 6.45
c, 6.5 से 1 विभाजन आगे → 6.5 + 0.025 = 6.525
b, 6.5 से 2 विभाजन आगे → 6.5 + 2 × 0.025 = 6.55

ऐसा क्यों होता है: यह मत मान लीजिए कि विभाजन सदैव 10 ही होते हैं। पहले गिनिए — यहाँ 6.4 और 6.5 के बीच केवल 3 छोटे चिह्न हैं, अर्थात 4 भाग, अत: प्रत्येक भाग एक दशांश का चौथाई = 0.025 है।

स्वयं जाँचिए: 6.4, 6.425, 6.45, 6.475, 6.5 — 0.025 के चार चरण ठीक 6.5 पर पहुँचते हैं। ✓

प्र4.

निम्नलिखित राशियों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए — (a) 11.01, 1.011, 1.101, 11.10, 1.01 (b) 2.567, 2.675, 2.768, 2.499, 2.698 (c) 4.678 ग्राम, 4.595 g, 4.600 ग्राम, 4.656 ग्राम, 4.666 ग्राम (d) 33.13 मीटर, 33.31 मीटर, 33.133 मीटर, 33.331 मीटर, 33.313 मीटर

उत्तर

सभी संख्याओं को समान दशमलव स्थानों में लिखिए, फिर बाईं ओर से तुलना कीजिए।

	समान स्थानों में	अवरोही क्रम
(a)	11.010, 1.011, 1.101, 11.100, 1.010	11.10, 11.01, 1.101, 1.011, 1.01
(b)	2.567, 2.675, 2.768, 2.499, 2.698	2.768, 2.698, 2.675, 2.567, 2.499
(c)	4.678, 4.595, 4.600, 4.656, 4.666	4.678 ग्रा., 4.666 ग्रा., 4.656 ग्रा., 4.600 ग्रा., 4.595 ग्रा.
(d)	33.130, 33.310, 33.133, 33.331, 33.313	33.331 मी., 33.313 मी., 33.31 मी., 33.133 मी., 33.13 मी.

ऐसा क्यों होता है: (a) में पूर्ण संख्या भाग ही पहले दो स्थान तय कर देता है — 11, 1 से बड़ा है। (d) में पाँचों का पूर्ण भाग 33 है, अत: क्रम शतांश और सहस्त्रांश के स्थानों पर तय होता है: 33.310 > 33.133 क्योंकि 3 दशांश 1 दशांश से बड़े हैं।

संकेत: शून्य भरने से (33.31 → 33.310) मान कभी नहीं बदलता, परंतु स्तंभ मिल जाते हैं — तुलना का यही सबसे सुरक्षित तरीका है।

प्र5.

अंकों 1, 4, 0, 8 और 6 के उपयोग से निम्नलिखित संख्याएँ बनाइए — (a) 30 के निकटतम दशमलव संख्या (b) 100 और 1000 के बीच संभव न्यूनतम दशमलव संख्या।

उत्तर

(a) ठीक 30 किसी भी व्यवस्था से नहीं बनता (अंक 3 है ही नहीं), अत: दोनों ओर के निकटतम विकल्प जाँचिए।

विकल्प	मान	30 से दूरी
18 से प्रारंभ होने वाली सबसे बड़ी	18.640	11.360
40 से प्रारंभ होने वाली सबसे छोटी	40.168	10.168
एक अंक वाले पूर्ण भाग की सबसे बड़ी	8.6410	21.359

30 से ऊपर सबसे छोटी संख्या 40.168 है, दूरी 10.168।
30 से नीचे सबसे बड़ी संख्या 18.640 है, दूरी 11.360।
अत: 40.168 संख्या 30 के निकटतम है।

(b) 100 और 1000 के बीच रहने के लिए पूर्ण भाग तीन अंकों का चाहिए, अत: बिंदु के बाद 2 अंक बचते हैं।

1, 4, 0, 8, 6 से सबसे छोटा तीन-अंकीय पूर्ण भाग (0 से प्रारंभ नहीं) = 104
शेष अंक 6 और 8 → सबसे छोटा भिन्नात्मक भाग = .68
उत्तर: 104.68

ऐसा क्यों होता है: संख्या छोटी बनाने के लिए सबसे छोटा उपलब्ध अंक सबसे बड़े स्थान पर रखिए — परंतु सबसे आगे 0 कभी नहीं, अन्यथा संख्या एक स्थान खो देगी और 100 से नीचे चली जाएगी।

प्र6.

क्या अधिक अंकों वाली एक दशमलव संख्या, एक कम अंकों वाली दशमलव संख्या से सदैव बड़ी होगी?

उत्तर

नहीं। अंकों की संख्या से आकार के बारे में कुछ पता नहीं चलता।

युग्म	अधिक अंक	कौन बड़ी
2.05 और 2.5	2.05	2.5 बड़ी है
0.9 और 0.1234	0.1234	0.9 बड़ी है
7.000 और 7	7.000	दोनों बराबर हैं
13.8 और 3.8888	3.8888	13.8 बड़ी है

ऐसा क्यों होता है: दशमलव बिंदु के बाद का प्रत्येक अंक और भी छोटे टुकड़े को दर्शाता है — पहले दशांश, फिर शतांश, फिर सहस्त्रांश। इसलिए छोटे टुकड़ों की लंबी शृंखला भी ऊँचे स्थान के बड़े अंक को कभी नहीं हरा सकती।

संकेत: तुलना सदैव बाईं ओर से स्थान-दर-स्थान कीजिए, अंक गिनकर कभी नहीं।

प्र7.

माही ने 0.25 कि.ग्रा. फलियाँ, 0.3 कि.ग्रा. गाजर, 0.5 कि.ग्रा. आलू, 0.2 कि.ग्रा. शिमला मिर्च और 0.05 कि.ग्रा. अदरक खरीदा। उसके द्वारा खरीदी गई वस्तुओं का कुल भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर

सभी को दो दशमलव स्थानों में लिखिए:
0.25 + 0.30 + 0.50 + 0.20 + 0.05
शतांश: 5 + 0 + 0 + 0 + 5 = 10 → 0, हासिल 1
दशांश: 2 + 3 + 5 + 2 + 0 + 1 = 13 → 3, हासिल 1
इकाई: 0 + 1 = 1
कुल = 1.30 कि.ग्रा. = 1 कि.ग्रा. 300 ग्रा.

ऐसा क्यों होता है: शतांश मिलकर एक पूरा दशांश बनाते हैं, और फिर 13 दशांश एक पूरा किलोग्राम तथा 3 दशांश शेष — इस छोटे-से योग में दो बार पुनर्समूहन होता है।

स्वयं जाँचिए: ग्रामों में — 250 + 300 + 500 + 200 + 50 = 1300 ग्रा. = 1.3 कि.ग्रा. ✓

प्र8.

पिंटो प्रथम 3 दिनों में एक दूध की डेयरी को 3.79 लीटर, 4.22 लीटर और 4.25 लीटर दूध की आपूर्ति करता है। 6 दिनों में वह 25 लीटर दूध की आपूर्ति करता है। उसके द्वारा डेयरी को अंतिम 3 दिनों में की गई दूध की आपूर्ति की मात्रा ज्ञात कीजिए।

उत्तर

प्रथम तीन दिन = 3.79 + 4.22 + 4.25
शतांश: 9 + 2 + 5 = 16 → 6, हासिल 1
दशांश: 7 + 2 + 2 + 1 = 12 → 2, हासिल 1
इकाई: 3 + 4 + 4 + 1 = 12
प्रथम तीन दिन = 12.26 लीटर

अंतिम तीन दिन = 25 – 12.26
= 25.00 – 12.26
= 12.74 लीटर

ऐसा क्यों होता है: 6 दिनों का कुल 25 लीटर निश्चित है, अत: जो प्रथम तीन दिनों में नहीं दिया गया वही अंतिम तीन दिनों में आना है। 25 को 25.00 लिखने से घटाव के स्तंभ ठीक मिल जाते हैं।

स्वयं जाँचिए: 12.26 + 12.74 = 25.00 ✓ (ध्यान दीजिए — अंग्रेजी संस्करण में दूसरे दिन की मात्रा 4.2 लीटर छपी है; उस स्थिति में प्रथम तीन दिन 12.24 लीटर और अंतिम तीन दिन 12.76 लीटर आते हैं।)

प्र9.

टिंकू का भार जनवरी में 35.75 कि.ग्रा. तथा फरवरी में 34.50 कि.ग्रा. था। उसके भार में वृद्धि हुई या कमी हुई? कितना परिवर्तन हुआ है?

उत्तर

फरवरी का भार – जनवरी का भार = 34.50 – 35.75 < 0
अत: टिंकू के भार में कमी हुई है।

परिवर्तन = 35.75 – 34.50
शतांश: 5 – 0 = 5
दशांश: 7 – 5 = 2
इकाई: 35 – 34 = 1
= 1.25 कि.ग्रा.

ऐसा क्यों होता है: 34.50, 35.75 से छोटी है क्योंकि पूर्ण भाग ही पहले भिन्न हो जाते हैं — 34 < 35। 1.25 कि.ग्रा. की कमी का अर्थ है 1 कि.ग्रा. और 250 ग्रा.।

स्वयं जाँचिए: 34.50 + 1.25 = 35.75 ✓

प्र10.

पैटर्न 5.5, 6.4, 6.39, 7.29, 7.28, 6.18, 6.17, ____, _____ का आगे विस्तार कीजिए।

उत्तर

क्रमागत पदों के बीच के परिवर्तन देखिए।

5.5 → 6.4 : + 0.9
6.4 → 6.39 : – 0.01
6.39 → 7.29 : + 0.9
7.29 → 7.28 : – 0.01
अत: नियम बारी-बारी से + 0.9 और – 0.01 है।

7.28 से नियम आगे बढ़ाने पर —

7.28 + 0.9 = 8.18
8.18 – 0.01 = 8.17
8.17 + 0.9 = 9.07
9.07 – 0.01 = 9.06
पैटर्न: 5.5, 6.4, 6.39, 7.29, 7.28, 8.18, 8.17, 9.07, 9.06

ऐसा क्यों होता है: 0.9 जोड़ना वही है जो "1 जोड़िए, 0.1 घटाइए", और 0.01 घटाने से केवल शतांश का अंक बदलता है। दोनों चालें साथ चलने पर संख्या हर चक्र में 0.89 बढ़ जाती है।

संकेत: छठा और सातवाँ पद 6.18 तथा 6.17 छपे हैं। पैटर्न के अनुसार वे 8.18 और 8.17 होने चाहिए — पुस्तक की अपनी उत्तर-कुंजी भी 8.17 से आगे बढ़ाकर 9.07 और 9.06 देती है। (यदि 6.17 को ही अंतिम पद मानें तो उसी नियम से अगले दो पद 7.07 और 7.06 होंगे।)

प्र11.

कितने मिलीमीटर से एक किलोमीटर बनता है?

उत्तर

1 कि.मी. = 1000 मी.
1 मी. = 100 से.मी. और 1 से.मी. = 10 मि.मी., अत: 1 मी. = 1000 मि.मी.
1 कि.मी. = 1000 × 1000 मि.मी.
= 10,00,000 मि.मी. (दस लाख मिलीमीटर)

ऐसा क्यों होता है: मीट्रिक सीढ़ी का प्रत्येक चरण 10 का गुणज है — कि.मी. → मी. में ×1000 और मी. → मि.मी. में फिर ×1000, अत: कि.मी. → मि.मी. में ×10,00,000।

संकेत: उलटकर भी पढ़िए — 1 मि.मी. = ¹⁄_10,00,000 कि.मी. = 0.000001 कि.मी.।

प्र12.

भारतीय रेल ई-टिकट बुक करने वाले यात्रियों को वैकल्पिक यात्रा बीमा की सुविधा का विकल्प प्रदान करती है। इसकी लागत 45 पैसे प्रति यात्री है। यदि 1 लाख व्यक्ति इस सुविधा बीमा योजना को चुनते हैं तो एक दिन में कितने बीमा शुल्क का भुगतान किया गया?

उत्तर

प्रति यात्री लागत = 45 पैसे = ₹0.45
यात्रियों की संख्या = 1 लाख = 1,00,000
कुल = 0.45 × 1,00,000
= 45 × 1000
= ₹45,000

पैसों में गणना —

45 × 1,00,000 = 45,00,000 पैसे
45,00,000 ÷ 100 = ₹45,000

ऐसा क्यों होता है: 1,00,000 से गुणा करने पर दशमलव बिंदु पाँच स्थान दाईं ओर खिसक जाता है: 0.45 → 45000.0। प्रति व्यक्ति नगण्य-सा लगने वाला शुल्क एक लाख यात्रियों पर बड़ी राशि बन जाता है।

क्या आप जानते हैं? भारतीय रेल प्रतिदिन दो करोड़ से भी अधिक यात्रियों को ले जाती है, अत: रुपये के छोटे-छोटे अंश भी बहुत तेज़ी से जुड़ते हैं।

प्र13.

कौन-सी संख्या बड़ी है? (a) 10/1000 या 1/10 ? (b) एक शतांश या 90 सहस्त्रांश? (c) एक सहस्त्रांश या 90 शतांश?

उत्तर

	पहली	दूसरी	बड़ी
(a)	¹⁰⁄₁₀₀₀ = 0.010	¹⁄₁₀ = 0.100	¹⁄₁₀
(b)	एक शतांश = 0.010	90 सहस्त्रांश = 0.090	90 सहस्त्रांश
(c)	एक सहस्त्रांश = 0.001	90 शतांश = 0.900	90 शतांश

(a) ¹⁄₁₀ = ¹⁰⁰⁄₁₀₀₀ और ¹⁰⁰⁄₁₀₀₀ > ¹⁰⁄₁₀₀₀
(b) ¹⁄₁₀₀ = ¹⁰⁄₁₀₀₀ और ⁹⁰⁄₁₀₀₀ > ¹⁰⁄₁₀₀₀
(c) ¹⁄₁₀₀₀ = 0.001 और ⁹⁰⁄₁₀₀ = 0.9, जो 900 गुना बड़ा है

ऐसा क्यों होता है: सबसे सुरक्षित उपाय है दोनों राशियों को समान हर (या समान दशमलव स्थानों) में लिखकर केवल अंशों की तुलना कर लेना।

प्र14.

दी गई राशियों को दशमलव के रूप में लिखिए (एक उदाहरण दिया गया है) — (a) 87 इकाई, 5 दशांश और 60 शतांश = 88.10 (b) 12 दहाई और 12 दशांश (c) 10 दहाई, 10 इकाई, 10 दशांश, 10 शतांश (d) 25 दहाई, 25 इकाई, 25 दशांश और 25 शतांश

उत्तर

	प्रक्रिया	दशमलव रूप
(a)	87 + 0.5 + 0.60 = 87 + 1.10	88.10 (दिया गया)
(b)	12 × 10 + 12 × 0.1 = 120 + 1.2	121.2
(c)	100 + 10 + 1.0 + 0.10	111.1
(d)	250 + 25 + 2.5 + 0.25	277.75

(d) की पूरी प्रक्रिया —
25 दहाई = 25 × 10 = 250
25 इकाई = 25
25 दशांश = 25 × ¹⁄₁₀ = 2.5
25 शतांश = 25 × ¹⁄₁₀₀ = 0.25
250 + 25 + 2.5 + 0.25 = 277.75

ऐसा क्यों होता है: ऐसे वर्णन में कोई स्थान अपनी 9 से अधिक इकाइयाँ भी रख सकता है — "60 शतांश" ठीक है और वह पुनर्समूहित होकर 6 दशांश बनता है, जो 5 दशांशों से मिलकर 11 दशांश अर्थात 1 इकाई और 1 दशांश बना देता है।

संकेत: प्रत्येक वाक्यांश को अलग-अलग लीजिए, उसे दशमलव में लिखिए, और तभी चारों संख्याओं को जोड़िए।

प्र15.

प्रत्येक अंक 0 – 9 का एक से अधिक बार उपयोग न करते हुए नीचे दिए बक्सों को इस प्रकार भरिए कि योग 10.5 के निकटतम हो।

उत्तर

बक्से □.□□□ रूप की दो संख्याएँ बनाते हैं, अर्थात कुल आठ भिन्न-भिन्न अंक प्रयोग होते हैं।

एक सटीक हल —
9.468
+ 1.032
= 10.500
प्रयुक्त अंक: 9, 4, 6, 8, 1, 0, 3, 2 — सभी भिन्न ✓

कुछ और सटीक हल —

पहली संख्या	दूसरी संख्या	योग
9.857	0.643	10.500
8.976	1.524	10.500
9.032	1.468	10.500

ऐसा क्यों होता है: हमें सहस्त्रांशों का योग 10, शतांशों का 9 (हासिल सहित), दशांशों का 4 (हासिल सहित) तथा इकाइयों का 10 चाहिए। इकाइयाँ 9 + 1 तय हो जाने पर तीनों दशमलव स्थानों के लिए अनेक विकल्प बचे रहते हैं।

संकेत: पुस्तक की उत्तर-कुंजी 9.476 + 1.025 = 10.501 देती है, जो 0.001 से चूक जाता है। चूँकि योग को ठीक 10.5 बनाया जा सकता है, अत: 9.468 + 1.032 जैसा सटीक युग्म बेहतर उत्तर है।

प्र16.

निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए — (a) 1/2 (b) 3/2 (c) 1/4 (d) 3/4 (e) 1/5 (f) 4/5

उत्तर

प्रत्येक भिन्न को 10 या 100 हर वाली तुल्य भिन्न में बदलिए, फिर दशमलव पढ़ लीजिए।

	भिन्न	दशांश / शतांश में	दशमलव
(a)	¹⁄₂	^{1 × 5}⁄_{2 × 5} = ⁵⁄₁₀	0.5
(b)	³⁄₂	¹⁵⁄₁₀ = 1 + ⁵⁄₁₀	1.5
(c)	¹⁄₄	^{1 × 25}⁄_{4 × 25} = ²⁵⁄₁₀₀	0.25
(d)	³⁄₄	⁷⁵⁄₁₀₀	0.75
(e)	¹⁄₅	^{1 × 2}⁄_{5 × 2} = ²⁄₁₀	0.2
(f)	⁴⁄₅	⁸⁄₁₀	0.8

ऐसा क्यों होता है: 2, 4 और 5 तीनों 10 या 100 को पूरा-पूरा विभाजित करते हैं, अत: इन भिन्नों का हर 10 की घात बनाया जा सकता है — और 10, 100 या 1000 हर वाली भिन्न ही दशमलव है।

क्या आप जानते हैं? हर भिन्न इतनी सुविधाजनक नहीं होती। ¹⁄₃ का हर कभी 10, 100 या 1000 नहीं बनाया जा सकता, इसीलिए उसका दशमलव रूप 0.333… अनंत तक चलता रहता है। ऐसी संख्याओं से आप ऊँची कक्षाओं में मिलेंगे।

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