प्र1.
प्रक्रिया के आरंभ होने से पूर्व ही खोईसनाम को समझ में आ गया कि अंत में कौन-से लॉकर खुले मिलेंगे। बताइए कि उसने इस उत्तर को कैसे ज्ञात किया होगा? संकेत — पता लगाइए कि प्रत्येक लॉकर कितनी बार घुमाया गया।
उत्तर
उसने गुणनखंड गिने। संख्या k वाला व्यक्ति लॉकर n को तभी छूता है जब k, n को विभाजित करता है। अत: लॉकर n उसके प्रत्येक गुणनखंड के लिए एक बार घुमाया जाता है।
लॉकर 6 को व्यक्ति 1, 2, 3, 6 छूते हैं → 4 बार घुमाया गया
प्रत्येक लॉकर आरंभ में बंद है, अत: वह खुला तभी रहेगा जब वह विषम बार घुमाया जाए
प्रत्येक लॉकर आरंभ में बंद है, अत: वह खुला तभी रहेगा जब वह विषम बार घुमाया जाए
अब प्रश्न यह बनता है — 1 से 100 तक किन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम है?
ऐसा क्यों होता है: गुणनखंड सह-गुणनखंड युग्मों में आते हैं — यदि d, n को विभाजित करता है तो n ÷ d भी करता है, और दोनों का गुणनफल n है। यदि प्रत्येक गुणनखंड का सह-गुणनखंड उससे भिन्न हो तो सभी युग्मों में बँट जाने से संख्या सम हो जाएगी। संख्या विषम तभी होगी जब कोई गुणनखंड स्वयं अपना सह-गुणनखंड हो, अर्थात d × d = n। यह केवल वर्ग संख्याओं में होता है।
अत: खोईसनाम को पहले से ज्ञात था कि खुले रहने वाले लॉकर हैं —
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
स्वयं जाँचिए: लॉकर 16 को 1, 2, 4, 8, 16 — पाँच व्यक्ति छूते हैं, अर्थात विषम बार, अत: वह खुला रहेगा। लॉकर 12 को 1, 2, 3, 4, 6, 12 — छह व्यक्ति छूते हैं, अत: वह बंद हो जाएगा।