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गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्या सम संख्या होती है?
उत्तर

नहीं। अधिकांश संख्याओं के लिए यह सत्य है, परंतु वर्ग संख्याओं के लिए नहीं।

6 : 1 × 6, 2 × 3 → 4 गुणनखंड (सम)
10 : 1 × 10, 2 × 5 → 4 गुणनखंड (सम)
9 : 1 × 9, 3 × 3 → 3 गुणनखंड (विषम)
ऐसा क्यों होता है: किसी संख्या को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर प्रत्येक गुणनखंड का एक सह-गुणनखंड बन जाता है। जब तक प्रत्येक युग्म के दोनों सदस्य भिन्न हैं, सभी गुणनखंड दो-दो के युग्मों में बँट जाते हैं और कुल संख्या सम रहती है। यह क्रम केवल तब टूटता है जब किसी युग्म के दोनों सदस्य समान हों — और d × d का अर्थ है कि संख्या d2 है।

अत: वर्ग संख्याओं को छोड़कर प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्या सम होती है।

प्र2.
क्या आप उपर्युक्त समझ का उपयोग करके अन्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं जिनके गुणनखंडों की संख्या विषम हो?
उत्तर

हाँ — किसी भी संख्या को स्वयं से गुणा कीजिए।

1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25, …
संख्यागुणनखंडकितने
111
41, 2, 43
91, 3, 93
161, 2, 4, 8, 165
251, 5, 253
361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 369

इनमें से प्रत्येक एक वर्ग है, और कोई भी ऐसी संख्या जो वर्ग नहीं है इस सूची में नहीं आ सकती।

प्र3.
उदाहरण के लिए 36 का एक गुणनखंड युग्म 6 × 6 है, यहाँ दोनों संख्याएँ 6 हैं। क्या इस संख्या के गुणनखंडों की संख्या विषम है? यहाँ 6 के अतिरिक्त 36 के प्रत्येक गुणनखंड का सह-गुणनखंड भिन्न है तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि 36 के गुणनखंडों की संख्या विषम होगी। क्या यह कथन सत्य है? जाँच कीजिए।
उत्तर

हाँ, 36 के 9 गुणनखंड हैं — विषम संख्या। युग्म दर युग्म जाँच इस प्रकार है —

1 × 36 → 1 और 36, भिन्न
2 × 18 → 2 और 18, भिन्न
3 × 12 → 3 और 12, भिन्न
4 × 9 → 4 और 9, भिन्न
6 × 6 → 6 का सह-गुणनखंड स्वयं 6 है

भिन्न गुणनखंडों के चार युग्मों से 4 × 2 = 8 गुणनखंड मिले और अकेला 6 एक और जोड़ता है —

8 + 1 = 9 गुणनखंड — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
ऐसा क्यों होता है: प्रश्न में दिया गया कथन ही सामान्य तर्क है। स्वयं-सह-गुणनखंड को छोड़कर शेष सभी गुणनखंड अलग-अलग युग्मों में बँट जाते हैं, जिससे सम संख्या मिलती है; अकेला बचा गुणनखंड कुल संख्या को विषम बना देता है। ऐसा स्वयं-सह-गुणनखंड केवल वर्ग में होता है, अत: केवल वर्ग के गुणनखंडों की संख्या विषम हो सकती है।
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