गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

उन लॉकर की संख्याएँ लिखिए जो खुले रहते हैं।

उत्तर

1 से 100 तक की वर्ग संख्याओं वाले लॉकर खुले रहते हैं —

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

अर्थात 10 लॉकर — 1², 2², 3², …, 10²। अगला वर्ग 11² = 121 है जो 100 से आगे है।

संकेत: 100 तक खुले लॉकर 10 इसलिए हैं क्योंकि 10² = 100 है। सामान्यत: 1 से N तक वर्ग संख्याओं की गिनती √N का पूर्णांक भाग होती है।

प्र2.

ये पाँच लॉकर कौन-से हैं?

उत्तर

गुप्त संकेत वाले लॉकर वे हैं जिन्हें ठीक दो बार घुमाया गया, अर्थात जिनकी संख्या के ठीक दो गुणनखंड हैं — अभाज्य संख्याएँ।

2 → 1, 2
3 → 1, 3
5 → 1, 5
7 → 1, 7
11 → 1, 11

ऐसे पहले पाँच लॉकर 2, 3, 5, 7 और 11 हैं, अत: कोड 2-3-5-7-11 है।

ऐसा क्यों होता है: जो लॉकर ठीक दो बार घुमाया गया उसे संख्या 1 वाला व्यक्ति खोलता है और ठीक एक अन्य व्यक्ति बंद करता है। इसका अर्थ है कि उस संख्या के गुणनखंड केवल 1 और वह संख्या स्वयं हैं — यही अभाज्य संख्या की परिभाषा है। ध्यान दीजिए कि 1 को केवल एक बार छुआ जाता है, अत: वह इस सूची में नहीं है।

प्र3.

क्या हम 3/5 या 2.5 इकाई भुजा वाला वर्ग बना सकते हैं?

उत्तर

हाँ। भुजा की लंबाई का पूर्ण संख्या होना आवश्यक नहीं है; भिन्न और दशमलव के वर्ग भी उसी प्रकार निकाले जाते हैं।

(3/5)² = (3/5) × (3/5) = 9/25 वर्ग इकाई
(2.5)² = 2.5 × 2.5 = 6.25 वर्ग इकाई

ऐसा क्यों होता है: वर्ग का क्षेत्रफल भुजा × भुजा होता है, भुजा चाहे जो हो। भिन्न का वर्ग करने पर अंश और हर दोनों का अलग-अलग वर्ग होता है, क्योंकि (a/b) × (a/b) = (a×a)/(b×b)।

संकेत: 9/25 और 6.25 भिन्न तथा दशमलव के वर्ग हैं, परंतु ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं — यह नाम केवल प्राकृत संख्याओं के वर्गों के लिए प्रयोग होता है।

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