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कक्षा ८ गणित अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
प्रथम 30 प्राकृत संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए और उन्हें निम्न तालिका में अंकित कीजिए।
1² = 111² = 12121² = 441
2² = 412² =22² =
3² = 913² =
4² = 1614² =
5² = 2515² =
6² =16² =
7² =17² =
8² =18² =
9² =19² =
10² =20² =
उत्तर

प्रथम 30 पूर्ण वर्गों की पूरी तालिका —

12 =1112 =121212 =441
22 =4122 =144222 =484
32 =9132 =169232 =529
42 =16142 =196242 =576
52 =25152 =225252 =625
62 =36162 =256262 =676
72 =49172 =289272 =729
82 =64182 =324282 =784
92 =81192 =361292 =841
102 =100202 =400302 =900
संकेत: हर बार गुणा करने की आवश्यकता नहीं है। चूँकि (n+1)2 = n2 + (2n + 1) होता है, प्रत्येक वर्ग पिछले वर्ग में अगली विषम संख्या जोड़ने से मिल जाता है — 400 + 41 = 441, 441 + 43 = 484, 484 + 45 = 529, और इसी प्रकार आगे।
प्र2.
आपने उपर्युक्त तालिका में किन प्रतिरूपों का अवलोकन किया? अपने अवलोकनों को अपने सहपाठियों के साथ साझा कीजिए एवं अनुमान लगाइए।
उत्तर

तालिका में एक साथ कई प्रतिरूप दिखाई देते हैं।

  • इकाई अंक। प्रत्येक वर्ग 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होता है। कोई भी 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होता।
  • युग्म। जिन संख्याओं के इकाई अंकों का योग 10 है उनके वर्गों का इकाई अंक समान होता है — 1 और 9 दोनों से 1, 2 और 8 दोनों से 4, 3 और 7 दोनों से 9, 4 और 6 दोनों से 6।
  • अंतर। क्रमागत वर्गों का अंतर क्रमागत विषम संख्याएँ हैं — 4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5, 16 – 9 = 7, …
  • सम-विषम। सम संख्या का वर्ग सम और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।
  • शून्य। 102 = 100, 202 = 400, 302 = 900 — संख्या के अंत का एक शून्य वर्ग में दो शून्य बन जाता है।
इकाई अंक का नियम क्यों चलता है: गुणनफल का अंतिम अंक केवल गुणा की जा रही संख्याओं के अंतिम अंकों पर निर्भर करता है। अत: n2 का अंतिम अंक केवल n के अंतिम अंक से तय होता है और जाँचने के लिए दस ही स्थितियाँ हैं — 0→0, 1→1, 2→4, 3→9, 4→6, 5→5, 6→6, 7→9, 8→4, 9→1। प्राप्त अंकों का समुच्चय ठीक {0, 1, 4, 5, 6, 9} है।
प्र3.
यदि कोई संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है तो क्या वह सदैव एक वर्ग संख्या होगी?
उत्तर

नहीं। इकाई अंक की जाँच केवल एक दिशा में काम करती है।

16 = 42 ✓ और 36 = 62 ✓, परंतु 26 का इकाई अंक 6 है और वह वर्ग नहीं है
इसी प्रकार 20, 21, 24, 30, 31 … सभी का इकाई अंक स्वीकार्य है पर वे वर्ग नहीं हैं
ऐसा क्यों होता है: 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होना आवश्यक प्रतिबंध है, पर्याप्त नहीं। वर्ग को यह शर्त पूरी करनी ही होगी, परंतु शर्त पूरी करने भर से कोई संख्या वर्ग नहीं बन जाती। उपयोगी दिशा उल्टी है — यदि कोई संख्या 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होती है तो वह निश्चित रूप से वर्ग नहीं है।
संकेत: यही सबसे तेज़ पहली छननी है। 1027 का अंत 7 पर है → वर्ग नहीं, और गुणनखंडन की आवश्यकता ही नहीं पड़ी।
प्र4.
ऐसी 5 संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई अंक को देखकर आप यह निर्धारित कर सकें कि वे वर्ग नहीं हैं।
उत्तर

2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होने वाली कोई भी संख्या लीजिए। उदाहरण के लिए —

42, 153, 267, 638, 1082
संख्याइकाई अंकनिष्कर्ष
422वर्ग नहीं
1533वर्ग नहीं
2677वर्ग नहीं
6388वर्ग नहीं
10822वर्ग नहीं

किसी भी प्राकृत संख्या का वर्ग इन चार अंकों पर समाप्त नहीं हो सकता, अत: एक दृष्टि में ही पाँचों का निर्णय हो जाता है।

प्र5.
वर्ग 1², 9², 11², 19², 21² और 29² इन सभी संख्याओं का इकाई अंक 1 है। अब आप ऐसे अगले दो वर्ग और लिखिए। ध्यान दीजिए यदि किसी संख्या का इकाई अंक 1 या 9 है तो उसके वर्ग का इकाई अंक 1 होता है।
उत्तर

सूची 1, 9, 11, 19, 21, 29 आगे 1 या 9 पर समाप्त होने वाली अगली संख्याओं से चलती है — अर्थात 31 और 39।

312 = 961
392 = 1521

दोनों का इकाई अंक 1 है, जैसा अपेक्षित था।

ऐसा क्यों होता है: वर्ग का इकाई अंक केवल संख्या के इकाई अंक से तय होता है। 1 × 1 = 1 का अंत 1 पर है और 9 × 9 = 81 का भी। किसी अन्य अंक से 1 नहीं मिलता — दसों स्थितियाँ हैं 0→0, 1→1, 2→4, 3→9, 4→6, 5→5, 6→6, 7→9, 8→4, 9→1। अत: वर्ग का इकाई अंक 1 ठीक तभी होता है जब उसके मूल का इकाई अंक 1 या 9 हो।
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