गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याओं में इकाई का अंक 6 है? (i) 38² (ii) 34² (iii) 46² (iv) 56² (v) 74² (vi) 82²

उत्तर

केवल संख्या के इकाई अंक का वर्ग कीजिए और उसका अंतिम अंक देखिए।

	संख्या	इकाई अंक	उसका वर्ग	वर्ग का इकाई अंक
(i)	38	8	64	4
(ii)	34	4	16	6 ✓
(iii)	46	6	36	6 ✓
(iv)	56	6	36	6 ✓
(v)	74	4	16	6 ✓
(vi)	82	2	4	4

अत: (ii) 34², (iii) 46², (iv) 56² और (v) 74² में इकाई का अंक 6 है।

ऐसा क्यों होता है: वर्ग का इकाई अंक 6 ठीक तभी होता है जब मूल का इकाई अंक 4 या 6 हो, क्योंकि 4 × 4 = 16 और 6 × 6 = 36 ही एक अंक वाले ऐसे गुणनफल हैं जो 6 पर समाप्त होते हैं।

स्वयं जाँचिए: 34² = 1156, 46² = 2116, 56² = 3136, 74² = 5476 — सभी 6 पर समाप्त; जबकि 38² = 1444 और 82² = 6724 का अंत 4 पर है।

प्र2.

आपके द्वारा पूरित तालिका से संख्याओं और उनके वर्गों का अवलोकन करके ऐसे और अधिक प्रतिरूप खोजिए।

उत्तर

30² तक की तालिका से चार और प्रतिरूप स्पष्ट दिखाई देते हैं।

5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग। 15² = 225, 25² = 625 — वर्ग सदैव 25 पर समाप्त होता है और उससे पहले का भाग दहाई अंक तथा उसके अगले अंक का गुणनफल है — 1×2 = 2, 2×3 = 6।
अंकों का योग। वर्ग के अंकों को बार-बार जोड़ने पर अंत में सदैव 1, 4, 7 या 9 मिलता है। 576 → 5+7+6 = 18 → 9। 441 → 4+4+1 = 9। कभी 2, 3, 5, 6 या 8 नहीं।
गोल संख्या से ठीक पहले। 19² = 361 = 400 – 39, 29² = 841 = 900 – 59 — दोनों पड़ोसी संख्याओं का योग घटा दीजिए।
तीन का गुणज। जो वर्ग 3 के गुणज हैं वे 9 के भी गुणज हैं — 9, 36, 81, 144, 225, 324, 441, 576, 729, 900।

'5 पर समाप्त' वाला नियम क्यों चलता है: 5 पर समाप्त होने वाली संख्या 10a + 5 होती है और
(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100 × a(a+1) + 25।
अत: अंतिम दो अंक सदैव 25 रहते हैं और आगे का भाग a × (a + 1) होता है। 25 के लिए a = 2, a(a+1) = 6, अत: 625।

प्र3.

यदि किसी संख्या के अंत में 3 शून्य हैं तो उसके वर्ग के अंत में कितने शून्य होंगे?

उत्तर

छह शून्य।

2000 = 2 × 1000
2000² = 4 × 1000 × 1000 = 4 × 1000000 = 4000000 → 6 शून्य

ऐसा क्यों होता है: तीन शून्य पर समाप्त होने वाली संख्या m × 10³ होती है, जहाँ m का अंत शून्य पर नहीं है। वर्ग करने पर m² × 10⁶ मिलता है और m² का अंत भी शून्य पर नहीं हो सकता, अत: अंत में ठीक 6 शून्य बचते हैं। वर्ग करने से अंत के शून्यों की संख्या दुगुनी हो जाती है।

प्र4.

आपने किसी संख्या के अंत में शून्यों की संख्या और इसके वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या के विषय में क्या अवलोकन किया? क्या ऐसा सदैव होता रहेगा? क्या हम कह सकते हैं कि वर्गों के अंत में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या ही हो सकती है?

उत्तर

वर्ग के अंत में शून्य सदैव दुगुने होते हैं।

10² = 100 → 1 शून्य से 2
20² = 400 → 1 शून्य से 2
100² = 10000 → 2 शून्य से 4
700² = 490000 → 2 शून्य से 4

हाँ, ऐसा सदैव होता है, और हाँ, वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या केवल सम ही हो सकती है।

ऐसा क्यों होता है: संख्या को m × 10^k लिखिए, जहाँ m का अंत शून्य पर नहीं है। तब उसका वर्ग m² × 10^2k होगा और m² का अंत भी शून्य पर नहीं होगा। अत: वर्ग के अंत में ठीक 2k शून्य होंगे — सदैव सम। इससे एक और तेज़ जाँच मिलती है — विषम संख्या में शून्यों पर समाप्त होने वाली संख्या, जैसे 1000 या 490, पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

प्र5.

किसी संख्या और उसके वर्ग की अनुरूपता के विषय में आपके क्या विचार हैं?

उत्तर

संख्या और उसका वर्ग सदैव एक ही प्रकार के होते हैं — सम का वर्ग सम, विषम का वर्ग विषम।

सम : 4² = 16, 10² = 100, 26² = 676 → सभी सम
विषम : 3² = 9, 7² = 49, 21² = 441 → सभी विषम

ऐसा क्यों होता है: सम संख्या 2k होती है, अत: उसका वर्ग 4k² = 2(2k²) — 2 का गुणज, अर्थात सम। विषम संख्या 2k + 1 होती है, अत: उसका वर्ग 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 — किसी सम संख्या से एक अधिक, अर्थात विषम।

संकेत: इसे उल्टा भी पढ़िए। यदि कोई पूर्ण वर्ग विषम है तो उसका वर्गमूल भी विषम होगा; यदि सम है तो मूल भी सम होगा। मूल खोजते समय यह आधी संभावनाएँ हटा देता है।

प्र6.

आइए, क्रमागत वर्गों के मध्य अंतर देखें। आपने क्या अवलोकन किया? 4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5, 16 – 9 = 7, 25 – 16 = 9. ध्यान दीजिए कि क्या यह प्रतिरूप अगली कुछ वर्ग संख्याओं तक बना रहता है?

उत्तर

अंतर क्रमागत विषम संख्याएँ हैं, और यह प्रतिरूप आगे भी बना रहता है।

36 – 25 = 11
49 – 36 = 13
64 – 49 = 15
81 – 64 = 17
100 – 81 = 19

ऐसा क्यों होता है: n² और (n+1)² के बीच का अंतर है
(n + 1)² – n² = n² + 2n + 1 – n² = 2n + 1,
जो ठीक (n+1)वीं विषम संख्या है। इन अंतरों को 1 से आरंभ करके क्रमश: जोड़ने पर
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² मिलता है।

प्रत्येक नई विषम संख्या एक उल्टे L के आकार की पट्टी है जो वर्ग को अगले वर्ग में बदल देती है।

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