कक्षा ८ गणित अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करके 36² ज्ञात कीजिए जबकि 35² = 1225 है।पृष्ठ 6 — वह चित्र जो बताता है कि प्रत्येक अगला उलटा L अगली विषम संख्या क्यों देता है।
उत्तर
1225 प्रथम 35 विषम संख्याओं का योग है, अत: 362 पाने के लिए उसमें 36वीं विषम संख्या जोड़नी होगी।
ऐसा क्यों होता है: चूँकि प्रथम n विषम संख्याओं का योग n2 होता है, 352 से 362 तक जाने के लिए इस श्रेणी का केवल एक और पद जोड़ना पड़ता है। बीजगणित में यही चरण है (n + 1)2 = n2 + 2n + 1, और यहाँ 2 × 35 + 1 = 71।
विषम संख्याओं को उनके स्थान के साथ लिखिए, नियम स्वयं दिखाई देगा।
स्थान n
1
2
3
4
5
6
विषम संख्या
1
3
5
7
9
11
प्रत्येक विषम संख्या अपने स्थान के दुगुने से एक कम है — 2 × 6 – 1 = 11। अत:
36वीं विषम संख्या = 2 × 36 – 1 = 71
ऐसा क्यों होता है: क्रम से सम संख्याएँ 2, 4, 6, … हैं, अत: nवीं सम संख्या 2n है। प्रत्येक विषम संख्या किसी सम संख्या से ठीक एक कम होती है, जिससे 2n – 1 मिलता है।
प्र3.
nवीं विषम संख्या क्या है?
उत्तर
nवीं विषम संख्या 2n – 1 है।
n = 1 → 2(1) – 1 = 1 n = 5 → 2(5) – 1 = 9 n = 50 → 2(50) – 1 = 99
ऐसा क्यों होता है: कोई भी विषम संख्या 2 से भाग देने पर 1 शेष छोड़ती है, अत: उसे किसी पूर्ण संख्या k ≥ 0 के लिए 2k + 1 लिखा जा सकता है। k = 0 से गिनने पर 1, 3, 5, … मिलता है और nवें स्थान पर k = n – 1 होता है, अत: मान 2(n – 1) + 1 = 2n – 1 है।
संकेत: यही सूत्र विषम संख्याओं वाली जाँच को उपयोगी बनाता है। 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 होने के कारण, घटाते-घटाते जिस चरण पर 0 मिलता है वही वर्गमूल है।