गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करके 36² ज्ञात कीजिए जबकि 35² = 1225 है।

उत्तर

1225 प्रथम 35 विषम संख्याओं का योग है, अत: 36² पाने के लिए उसमें 36वीं विषम संख्या जोड़नी होगी।

36वीं विषम संख्या = 2 × 36 – 1 = 71
36² = 1225 + 71 = 1296

ऐसा क्यों होता है: चूँकि प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है, 35² से 36² तक जाने के लिए इस श्रेणी का केवल एक और पद जोड़ना पड़ता है। बीजगणित में यही चरण है (n + 1)² = n² + 2n + 1, और यहाँ 2 × 35 + 1 = 71।

स्वयं जाँचिए: 36 × 36 = 36 × 30 + 36 × 6 = 1080 + 216 = 1296. ✓

प्र2.

हम 36वीं विषम संख्या कैसे ज्ञात करेंगे?

उत्तर

विषम संख्याओं को उनके स्थान के साथ लिखिए, नियम स्वयं दिखाई देगा।

स्थान n	1	2	3	4	5	6
विषम संख्या	1	3	5	7	9	11

प्रत्येक विषम संख्या अपने स्थान के दुगुने से एक कम है — 2 × 6 – 1 = 11। अत:

36वीं विषम संख्या = 2 × 36 – 1 = 71

ऐसा क्यों होता है: क्रम से सम संख्याएँ 2, 4, 6, … हैं, अत: nवीं सम संख्या 2n है। प्रत्येक विषम संख्या किसी सम संख्या से ठीक एक कम होती है, जिससे 2n – 1 मिलता है।

प्र3.

nवीं विषम संख्या क्या है?

उत्तर

nवीं विषम संख्या 2n – 1 है।

n = 1 → 2(1) – 1 = 1
n = 5 → 2(5) – 1 = 9
n = 50 → 2(50) – 1 = 99

ऐसा क्यों होता है: कोई भी विषम संख्या 2 से भाग देने पर 1 शेष छोड़ती है, अत: उसे किसी पूर्ण संख्या k ≥ 0 के लिए 2k + 1 लिखा जा सकता है। k = 0 से गिनने पर 1, 3, 5, … मिलता है और nवें स्थान पर k = n – 1 होता है, अत: मान 2(n – 1) + 1 = 2n – 1 है।

संकेत: यही सूत्र विषम संख्याओं वाली जाँच को उपयोगी बनाता है। 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² होने के कारण, घटाते-घटाते जिस चरण पर 0 मिलता है वही वर्गमूल है।

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