आकृति (i): दिए गए ∠CAB = 30° से आयत के भीतर के सभी कोण।
आकृति (ii) — आयत PQRS, जिसमें P नीचे-बाएँ, Q ऊपर-बाएँ, R ऊपर-दाएँ तथा S नीचे-दाएँ है, दोनों विकर्ण खिंचे हैं और प्रतिच्छेद बिंदु O पर ∠QOR = 110° दिया है।
समद्विबाहु त्रिभुज कहाँ से आते हैं: आयत के विकर्ण समान होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अत: OP, OQ, OR तथा OS — चारों अर्ध-विकर्ण समान लंबाई के हैं। इसीलिए O पर बना प्रत्येक त्रिभुज समद्विबाहु है और उसके आधार कोण समान होने ही चाहिए। यही एक दिए हुए कोण से बारहों कोण निकाल देता है।
प्र2.
एक ऐसा चतुर्भुज बनाइए जिसके प्रत्येक विकर्ण की लंबाई 8 सेंटीमीटर हो एवं वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हों और निम्नलिखित कोण बनाते हों। (i) 30° (ii) 40° (iii) 90° (iv) 140°
उत्तर
रचना चारों स्थितियों में एक जैसी है; केवल O पर बना कोण बदलता है।
AB = 8 सेंटीमीटर खींचिए और उसका मध्यबिंदु O अंकित कीजिए (अत: OA = OB = 4 सेंटीमीटर)।
O पर OB के साथ अपेक्षित कोण बनाती हुई एक किरण खींचिए।
इस किरण पर तथा इसकी विपरीत किरण पर OC = OD = 4 सेंटीमीटर काट लीजिए।
AD, DB, BC तथा CA मिलाइए। ADBC अपेक्षित चतुर्भुज है।
चारों आकृतियाँ आयत ही होंगी, क्योंकि विकर्ण समान (8-8 सेंटीमीटर) हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं — निगमन 3 के अनुसार उनके बीच के कोण से कोई अंतर नहीं पड़ता।
O पर कोण
प्रत्येक शीर्ष पर अर्ध-कोण (90 – x/2, x/2)
प्राप्त आकृति
(i) 30°
75° तथा 15°
लंबा-पतला आयत
(ii) 40°
70° तथा 20°
आयत
(iii) 90°
45° तथा 45°
वर्ग
(iv) 140°
20° तथा 70°
आयत ((ii) जैसा ही, केवल घुमा हुआ)
(ii) तथा (iv) एक ही आकार क्यों देते हैं: 40° तथा 140° संपूरक हैं, और O पर बने कोण सदैव x, x, 180 – x, 180 – x होते हैं। 140° चुनने पर केवल यह बदलता है कि कौन-सा युग्म छोटा है — वही आयत दूसरी ओर खड़ा मिल जाता है।
स्वयं जाँचिए: स्थिति (iii) में चारों भुजाएँ मापिए। प्रत्येक लगभग 5.7 सेंटीमीटर मिलेगी, क्योंकि प्रत्येक भुजा √(4² + 4²) = 4√2 सेंटीमीटर है।
प्र3.
माना O केंद्र का कोई वृत्त है। जहाँ पर रेखाखंड PL और AM वृत्त के दो व्यास हैं, यह परस्पर लंबवत हैं। बताइए कि APML किस प्रकार की आकृति है? कारण और/अथवा प्रयोग द्वारा इसे ज्ञात कीजिए।
उत्तर
APML एक वर्ग है।
दोनों व्यास ही चतुर्भुज APML के विकर्ण हैं, अत: उन्हें वर्ग की कसौटी पर परखिए।
PL = AM — वृत्त के सभी व्यास समान लंबाई के होते हैं ⇒ विकर्ण समान
दोनों केंद्र O से होकर जाते हैं और O प्रत्येक का मध्यबिंदु है ⇒ विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
PL ⊥ AM (दिया है) ⇒ विकर्ण 90° पर मिलते हैं
समान विकर्ण जो एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करें ⇒ आकृति वर्ग है।
ऐसा क्यों होता है: चारों शीर्ष वृत्त पर हैं, अत: प्रत्येक O से r दूरी पर है। O पर बने चारों त्रिभुज r भुजाओं वाले सर्वांगसम समद्विबाहु समकोण त्रिभुज हैं, अत: APML की चारों भुजाएँ r√2 तथा चारों कोण 45° + 45° = 90° के हैं।
प्रयास कीजिए: 3 सेंटीमीटर त्रिज्या का वृत्त तथा दो परस्पर लंबवत व्यास खींचिए। APML की भुजा मापिए — लगभग 4.2 सेंटीमीटर मिलेगी, क्योंकि 3√2 ≈ 4.24।
प्र4.
हमने देखा कि कागज को मोड़कर 90° का कोण कैसे बनाया जाता है। हम मान लेते हैं कि हमारे पास कागज नहीं है परंतु समान लंबाई की दो छड़ियाँ और एक धागा है। इनसे हम 90° का कोण किस प्रकार बनाएँगे?
उत्तर
बढ़ई की समस्या को उलटकर प्रयोग कीजिए — पहले आयत बनाइए, उसके कोने ही आपके समकोण हैं।
माना AB तथा CD दोनों समान छड़ियाँ हैं। धागे को छड़ी पर रखकर आधा मोड़कर प्रत्येक का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
दोनों छड़ियों को इस प्रकार रखिए कि उनके मध्यबिंदु एक ही बिंदु O पर आ जाएँ। वहीं जोड़ दीजिए।
धागे को चारों सिरों A, C, B, D से घुमाकर वापस A तक लाइए और तान दीजिए।
ACBD एक आयत है, क्योंकि उसके विकर्ण AB तथा CD समान हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अत: ∠C = ∠A = ∠B = ∠D = 90° — धागे से बनी आकृति का प्रत्येक कोना ठीक समकोण है।
यह अनुमान नहीं, सटीक क्यों है: यहाँ कहीं भी कोण को आँख से आँकना नहीं पड़ता। जिन दो शर्तों को आप भौतिक रूप से नियंत्रित कर सकते हैं — छड़ियाँ समान लंबाई की, मध्यबिंदु पर जुड़ी हुई — निगमन 3 सिद्ध कर चुका है कि वही चारों कोणों को 90° बनाने के लिए पर्याप्त हैं।
एक और विधि: समद्विबाहु त्रिभुज का उपयोग कीजिए। धागे से ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसकी दो समान भुजाएँ छड़ियों पर हों; शीर्ष से आधार के मध्यबिंदु तक की रेखा आधार पर लंब होगी, क्योंकि वह लंब समद्विभाजक है।
प्र5.
हमने देखा कि आयत का एक गुण यह भी है कि उसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। क्या इसे आयत की परिभाषा के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है? दूसरे शब्दों में प्रत्येक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर और समान हों तो क्या वह एक आयत होगा?
उत्तर
नहीं। 'सम्मुख भुजाएँ समांतर एवं समान' आयत का सच्चा गुण तो है, परंतु उसे परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं।
परिभाषा को प्रत्येक आयत स्वीकार करना चाहिए तथा शेष सब अस्वीकार। यह कसौटी दूसरी शर्त पर विफल है — प्रत्येक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर एवं समान होती हैं, और अधिकांश समांतर चतुर्भुज आयत नहीं होते।
∠A = 30° तथा भुजाएँ 4 सेंटीमीटर व 5 सेंटीमीटर वाला समांतर चतुर्भुज
सम्मुख भुजाएँ समांतर ✓ सम्मुख भुजाएँ समान ✓
परंतु ∠A = 30° ≠ 90° ⇒ आयत नहीं
कोणों का उल्लेख क्यों आवश्यक है: समांतरता केवल भुजाओं की दिशा तय करती है, दो दिशाओं के बीच का कोण नहीं। आयत के ऊपरी भाग को बगल में धकेलिए — भुजाएँ समांतर एवं समान बनी रहती हैं पर प्रत्येक कोण बदल जाता है, और 'झुका हुआ' समांतर चतुर्भुज बन जाता है। केवल 'सभी कोण 90°' वाली शर्त ही इसे रोक सकती है।
संकेत: जो परिभाषाएँ काम करती हैं उनसे तुलना कीजिए — 'सभी कोण 90°' अथवा 'विकर्ण समान हों और एक-दूसरे को समद्विभाजित करें'। सामान्य समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित तो करते हैं पर समान नहीं होते — ठीक यही बात विफल परिभाषा में छूट गई है।
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