गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

नीचे दिए गए गूढ़कलन को हल कीजिए। (i) A1 + 1B = B0 (ii) AB + 37 = 6A (iii) ON + ON + ON = PO (iv) QR + QR + QR = PRR

उत्तर

(i) A = 7, B = 9 → 71 + 19 = 90

इकाई: 1 + B का अंत 0 पर होना चाहिए → B = 9, हासिल 1
दहाई: A + 1 + 1 = B = 9 → A = 7
जाँच: 71 + 19 = 90 ✓

(ii) A = 2, B = 5 → 25 + 37 = 62

दहाई: A + 3 + (हासिल) = 6
यदि हासिल 0 हो: A = 3, तब इकाई से 3 = B + 7 अर्थात B = – 4 ✗
अत: हासिल 1 है: A + 4 = 6 → A = 2
इकाई: B + 7 = A + 10 = 12 → B = 5
जाँच: 25 + 37 = 62 ✓

(iii) तीन हल संभव हैं, जिनमें से एक है O = 3, N = 1, P = 9. पहेली है 3 × ON = PO और गुणनफल दो अंकों का है।

इकाई: 3N का अंत O पर होना चाहिए
गुणनफल 100 से कम रहना चाहिए, अत: ON ≤ 33 → O = 1, 2 या 3

O	N (ताकि 3N का अंत O पर हो)	जाँच
1	7 (3 × 7 = 21)	17 × 3 = 51 = PO ✓ → P = 5
2	4 (3 × 4 = 12)	24 × 3 = 72 = PO ✓ → P = 7
3	1 (3 × 1 = 3)	31 × 3 = 93 = PO ✓ → P = 9

तीनों में प्रत्येक अक्षर का अंक अलग-अलग रहता है, अत: तीनों मान्य हैं: 17 + 17 + 17 = 51, 24 + 24 + 24 = 72 तथा 31 + 31 + 31 = 93। (पुस्तक की उत्तर-सूची में केवल अंतिम हल दिया गया है।)

(iv) Q = 8, R = 5, P = 2 → 85 + 85 + 85 = 255

3 × QR = PRR, तीन अंकों की संख्या, अत: QR ≥ 34
इकाई: 3R का अंत R पर → 2R का अंत 0 पर → R = 0 या 5
R = 0 से 30Q = 100P बनता है, जो अंकों के लिए असंभव है
अत: R = 5: 3(10Q + 5) = 100P + 55
30Q + 15 = 100P + 55 → 3Q = 10P + 4
P = 2 से 3Q = 24 → Q = 8
जाँच: 85 × 3 = 255 ✓

प्र2.

PQ × 8 = RS. गुना कहता है, “ओह, इसका अर्थ है कि एक 2 अंकों वाली संख्या को 8 से गुणा करने पर एक 2 अंकों वाली संख्या प्राप्त होगी। मैं जानता हूँ कि 10 × 8 = 80 परंतु 10 और 80 का इकाई अंक समान है, जिसकी हमें आवश्यकता नहीं है। इसी तर्क से PQ, 11 नहीं हो सकता क्योंकि P और Q भिन्न-भिन्न अंक हैं। 12 × 8 = 96 सभी प्रतिबंधों को पूरा करता है। क्या PQ, 13 हो सकता है? विचार कीजिए।

उत्तर

नहीं, PQ, 13 नहीं हो सकता — और 12 ही एकमात्र संभव मान है।

13 × 8 = 104, जो 3 अंकों की संख्या है ✗

गुणनफल दो अंकों का रहने के लिए PQ × 8 ≤ 99 चाहिए, अर्थात PQ ≤ 12। अत: केवल 10, 11 व 12 ही विचारणीय हैं—

PQ	PQ × 8	स्वीकार्य?
10	80	नहीं — Q और S दोनों 0 हो जाएँगे
11	88	नहीं — P और Q दोनों 1 हो जाएँगे
12	96	हाँ — P = 1, Q = 2, R = 9, S = 6

इससे बड़ा कुछ क्यों नहीं चलता: 8 से गुणा करने पर गुणनफल बढ़ता ही जाता है, अत: जैसे ही 13 × 8, 100 को पार करता है, हर बड़ी दो-अंकीय संख्या भी पार कर जाती है। सीमा पर की एक जाँच शेष 87 संभावनाओं को एक साथ हटा देती है — यही मितव्ययिता गुना अपना रहा है।

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