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गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
इसे हल करने का प्रयास कीजिए— GH × H = 9K. इसका अर्थ है कि किसी 2 अंकों की संख्या को 1 अंक की संख्या से गुणा करने पर 90 के दशक की 2 अंकों वाली अन्य संख्या प्राप्त होती है। इस गूढ़ समीकरण में इकाई के अंकों के संगत अक्षरों को देखिए। नीचे दिए गए विकल्पों में से इस प्रश्न का उत्तर छाँटिए। 11 × 9 = 99, 12 × 8 = 96, 46 × 2 = 92, 24 × 4 = 96, 47 × 2 = 94, 31 × 3 = 93, 16 × 6 = 96
उत्तर

हल है 24 × 4 = 96, अर्थात G = 2, H = 4, K = 6।

ध्यान देने योग्य अक्षर है H: वह दो अंकों की संख्या का इकाई अंक भी है और गुणक भी। अत: गुणक इकाई अंक के बराबर होना चाहिए।

विकल्पइकाई अंक बनाम गुणकGH × H = 9K में बैठता है?
11 × 9 = 991 ≠ 9नहीं
12 × 8 = 962 ≠ 8नहीं
46 × 2 = 926 ≠ 2नहीं
24 × 4 = 964 = 4 ✓हाँ
47 × 2 = 947 ≠ 2नहीं
31 × 3 = 931 ≠ 3नहीं
16 × 6 = 966 = 6 ✓, किंतु तब H = 6 और K = 6नहीं — दो अक्षर एक ही अंक नहीं हो सकते
संकेत: 16 × 6 = 96 वह विकल्प है जिसे ध्यान से देखना चाहिए। यह इकाई अंक की जाँच तो पास कर लेता है, किंतु गूढ़कलन का मूल नियम तोड़ देता है — भिन्न अक्षर भिन्न अंकों के लिए ही होते हैं।
प्र2.
एक अन्य प्रश्न BYE × 6 = RAY. अंशु कहता है, “चूँकि गुणनफल एक तीन अंकों वाली संख्या है अत: B, 2 या उससे अधिक नहीं हो सकता। यदि B = 2 अर्थात 200 तब गुणनफल 1200 से अधिक होगा। अत: B = 1 होगा।” आप ‘Y’ के विषय में क्या कह सकते हैं? कौन-से अंक संभव हैं या नहीं हैं?
उत्तर

Y सम होना चाहिए और 7 से कम, अत: केवल Y = 0, 2, 4 या 6 संभव हैं। इन्हें जाँचने पर ठीक एक हल बचता है।

दो तथ्य Y को तुरंत सीमित कर देते हैं—

  • Y सम है। गुणनफल RAY का अंत Y पर होता है और 6 × (कुछ भी) सम होता है। अत: Y, 1, 3, 5, 7 या 9 नहीं हो सकता।
  • Y, 7 से कम है। यदि Y = 7 हो तो BYE कम-से-कम 170 होगा और 170 × 6 = 1020 — चार अंकों का गुणनफल। अत: 7, 8 व 9 भी बाहर हैं।

अब बचे हुए प्रत्येक मान को जाँचिए, यह स्मरण रखते हुए कि B = 1 है और 6 × E का अंत Y पर होना चाहिए—

Y“6 × E का अंत Y पर” से Eपरिणाम
0E = 5 (6 × 5 = 30)105 × 6 = 630 → R = 6, A = 3 ✓ सभी अक्षर भिन्न
2E = 7 (6 × 7 = 42)127 × 6 = 762 → R = 7, जो E = 7 से टकराता है ✗
4E = 9 (6 × 9 = 54)149 × 6 = 894 → A = 9, जो E = 9 से टकराता है ✗
6E = 1 या 6दोनों टकराते हैं — E = 1 तो B है, E = 6 तो Y ✗
अत: B = 1, Y = 0, E = 5, R = 6, A = 3 और 105 × 6 = 630 ✓
संकेत: Y = 0 स्वीकार्य है क्योंकि Y किसी भी संख्या का पहला अंक नहीं है। पहले अंक केवल B और R हैं, और इनमें से कोई 0 नहीं हो सकता।
प्र3.
निम्नलिखित को हल कीजिए। (i) UT × 3 = PUT (ii) AB × 5 = BC (iii) L2N × 2 = 2NP (iv) X4 × 4 = ZX (v) PP × QQ = PRP (vi) JK × 6 = KKK
उत्तर
ध्यान दीजिए: हिंदी संस्करण में (iv) ‘X4 × 4 = ZX’ छपा है; अंग्रेज़ी संस्करण में यह XY × 4 = ZX है। ‘4’ वहाँ Y का मुद्रण-दोष है — यदि इकाई अंक सचमुच 4 मान लिया जाए तो 14 × 4 = 56 और 24 × 4 = 96, दोनों में गुणनफल का इकाई अंक X के बराबर नहीं आता, अर्थात कोई हल ही नहीं बचता। नीचे इसे XY × 4 = ZX मानकर हल किया गया है।

(i) U = 5, T = 0, P = 1 → 50 × 3 = 150

3(10U + T) = 100P + 10U + T
30U + 3T = 100P + 10U + T
20U + 2T = 100P → 10U + T = 50P
अत: UT = 50P; P = 1 से UT = 50 (P = 2 से UT = 100 चाहिए)

(ii) A = 1, B = 9, C = 5 → 19 × 5 = 95

2 अंकों × 5 दो अंकों का तभी रहेगा जब AB ≤ 19, अत: A = 1
(10 + B) × 5 = 10B + C
50 + 5B = 10B + C → C = 50 – 5B
C अंक होना चाहिए → 50 – 5B ≤ 9 → B = 9, C = 5

(iii) दो हल: L = 1, N = 5, P = 0 तथा L = 1, N = 4, P = 8.

2(100L + 20 + N) = 200 + 10N + P
200L + 40 + 2N = 200 + 10N + P
200L + 40 = 200 + 8N + P
L = 1 → 8N + P = 40 (L = 2 से 8N + P = 240 चाहिए)

N = 5 से P = 0 → 125 × 2 = 250 ✓   N = 4 से P = 8 → 124 × 2 = 248 ✓। दोनों में प्रत्येक अक्षर का अंक भिन्न है और कोई अक्षर मुद्रित अंक 2 के बराबर नहीं है। (पुस्तक की उत्तर-सूची में केवल 125 × 2 = 250 दिया गया है।)

(iv) X = 2, Y = 3, Z = 9 → 23 × 4 = 92

4(10X + Y) = 10Z + X → 39X + 4Y = 10Z
गुणनफल 2 अंकों का → XY ≤ 24, अत: X = 1 या 2
X = 1: 39 + 4Y = 10Z के लिए 4Y का अंत 1 पर चाहिए — असंभव, 4Y सम है
X = 2: 78 + 4Y = 10Z के लिए 4Y का अंत 2 पर चाहिए → Y = 3 → Z = 9

(v) तीन हल, जिनमें से एक है P = 2, Q = 1, R = 4.

PP = 11P और QQ = 11Q, अत: PP × QQ = 121 × P × Q
गुणनफल 3 अंकों का → P × Q ≤ 8
121 × 2 = 242, 121 × 3 = 363, 121 × 4 = 484 — प्रत्येक PRP के रूप में है
गुणनफलPRP के रूप में पढ़ने परगूढ़कलन
242P = 2, R = 4, अत: Q = 122 × 11 = 242 ✓
363P = 3, R = 6, अत: Q = 133 × 11 = 363 ✓
484P = 4, R = 8, अत: Q = 144 × 11 = 484 ✓

121 × 1 = 121 असफल है क्योंकि इससे P = Q = 1 हो जाता है, और 121 × 5 = 605 से आगे गुणनफल का पहला व अंतिम अंक समान नहीं रहता।

(vi) J = 7, K = 4 → 74 × 6 = 444

KKK = 111K, अत: 6(10J + K) = 111K
60J + 6K = 111K
60J = 105K → 4J = 7K
K, 4 का गुणज होना चाहिए → K = 4, J = 7 (K = 8 से J = 14 आता)
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