कक्षा ९ गणित अध्याय 3 संख्याओं का संसार के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन 2026-09-19

इस अध्याय के बारे में

प्राकृत संख्याओं का जन्म एकैकी-संगतता से हुआ; ब्रह्मगुप्त (628 सामान्य संवत) द्वारा शून्य को संख्या मानने और ऋणभार (ऋण) तथा धन-संपत्ति (धन) के रूप में ऋणात्मक-धनात्मक संख्याएँ देने पर पूर्णांक (Z) प्राप्त हुए। परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। परिमेय संख्याएँ योग, घटाव और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं तथा 0 से विभाजन को छोड़कर विभाजन के अंतर्गत भी। परिमेय संख्याएँ सघन होती हैं — किन्हीं दो परिमेय संख्याओं a, b का माध्य (a + b)/2 सदैव एक परिमेय संख्या है जो उनके ठीक मध्य में स्थित होती है, अत: किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य अनंत परिमेय संख्याएँ हैं। √2 अपरिमेय है। हिप्पासस की विरोधाभास द्वारा उपपत्ति में √2 = p/q (सरलतम रूप) मानने पर p और q दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं, जो मान्यता का ही खंडन कर देता है। सरलतम रूप की परिमेय संख्या p/q का दशमलव

त्वरित पुनरावृत्ति

संकल्पना	चिह्न / रूप	नियम या जाँच	अध्याय का उदाहरण
प्राकृत संख्याएँ	N = {1, 2, 3, …}	योग व गुणन में संवृत, घटाव में नहीं	3 − 5 प्राकृत संख्या नहीं है
पूर्णांक	Z = {…, −1, 0, 1, …}	धन और ऋण; (−) × (−) = (+)	(−3) × (−4) = 12
परिमेय संख्या	p/q, p, q पूर्णांक, q ≠ 0	q ≠ 0; p, q सह-अभाज्य लीजिए	12/30 = 2/5
परिमेय संख्याओं की समतुल्यता	a/b = c/d	ठीक तभी जब ad = bc	2/3 = 4/6, क्योंकि 2·6 = 3·4
निरपेक्ष मान	\| x \|	0 से दूरी; \| a − b \| = a और b की दूरी	\| −4 − 3 \| = 7
सघनता	(a + b)/2	सदैव परिमेय और a, b के मध्य	1 और 3/2 के मध्य 5/4
सांत दशमलव	सरलतम रूप में p/q	q = 2^m · 5^n ही हो	3/20 = 15/100 = 0.15
आवर्ती दशमलव	सरलतम रूप में p/q	q में 2, 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य	5/11 = 0.4545…, आवर्ती
दशमलव स्थानों की संख्या	q = 2^m · 5^n	m और n में से बड़ा	1/40 = 0.025, 3 स्थान
अपरिमेय संख्या	p/q के रूप में असंभव	दशमलव न समाप्त, न आवर्ती	√2, √3, π
विरोधाभास द्वारा उपपत्ति	विपरीत की कल्पना	असंभव निष्कर्ष तक पहुँचना	√2 = p/q से p, q दोनों सम
वास्तविक संख्याएँ	R = परिमेय ∪ अपरिमेय	रेखा का प्रत्येक बिंदु	संख्या रेखा में कोई रिक्तता नहीं

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