कक्षा ९ गणित अध्याय 4 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन 2026-09-19

इस अध्याय के बारे में

x² − 1 = 24 जैसा समीकरण केवल x = 5 अथवा x = −5 के लिए सत्य है, परंतु (x + y)² = x² + 2xy + y² जैसी सर्वसमिका x और y के प्रत्येक मान के लिए सत्य है। समीकरण और सर्वसमिका में यही अंतर है। (a + b) भुजा वाला वर्ग a², b² तथा दो ab आयतों में विभाजित होता है, अत: (a + b)² = a² + 2ab + b²। इसमें b के स्थान पर −b रखने पर — जो मान्य है, क्योंकि सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य होती है — (a − b)² = a² − 2ab + b² प्राप्त होता है। (a + b + c) भुजा वाला वर्ग नौ भागों में बँटकर तीन चरों वाली सर्वसमिका देता है। प्रत्येक सर्वसमिका को उलटकर पढ़ने पर वह गुणनखंडन का नियम बन जाती है। 9x² + 24xy + 16y² के भीतर a² + 2ab + b² को पहचान लेना ही उसे (3x + 4y)² लिखने की कुंजी है। बीजीय टाइलें x² + 7x + 12 के गुणनखंडन को एक पहेली बना देती हैं: 7x का केवल वही विभाजन काम करता है जिसमें इकाई टाइलें पूरा आयत भर दें, अर्थात

त्वरित पुनरावृत्ति

सर्वसमिका	कथन	किससे प्राप्त होती है	उपयोग
योग का वर्ग	(a + b)² = a² + 2ab + b²	चित्र 4.2 — a + b भुजा वाला वर्ग, a², b² तथा दो ab आयतों में	64², (7x + 4y)² का विस्तार
अंतर का वर्ग	(a − b)² = a² − 2ab + b²	चित्र 4.3, अथवा पहली सर्वसमिका में b के स्थान पर −b	79², 16y² − 24y + 9 का गुणनखंडन
तीन पदों के योग का वर्ग	(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca	चित्र 4.4 — a + b + c भुजा वाले वर्ग पर 3 × 3 की जाली	117², 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc का गुणनखंडन
दो वर्गों का अंतर	a² − b² = (a + b)(a − b)	चित्र 4.5 — वर्ग से एक पट्टी काटकर दूसरी ओर जोड़ना	104 × 96, 36s² − 49t² का गुणनखंडन
श्रीधराचार्य का रूप	a² = (a + b)(a − b) + b²	वही चित्र, दूसरी ओर से पढ़ने पर	35², 55², 105² मौखिक रूप से
दो द्विपदों का गुणनफल	(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab	चित्र 4.7 — बीजीय टाइलों से बना आयत	x² + 7x + 12, x² − 5x + 6 का गुणनखंडन
व्यापक द्विपद गुणनफल	(px + a)(qx + b) = pq·x² + (pb + aq)x + ab	चित्र 4.8 — (2x + 3)(3x + 1) की टाइलें	6x² + 7x + 2, 10x² − 11x − 6 का गुणनखंडन
योग का घन	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³	चित्र 4.10 — a + b भुजा वाला घन, 2 घन + 6 घनाभ	147³, p³ + 6p²q + 12pq² + 8q³ का गुणनखंडन
अंतर का घन	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³	योग के घन में b के स्थान पर −b	199³, 8n³ − 60n²m + 150nm² − 125m³ का गुणनखंडन
घनों का योग और अंतर	x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)	वितरण गुणधर्म से गुणा; मध्य के पद कट जाते हैं	27b³ − 1/(64b³), 64y³ + z³/125 का गुणनखंडन
तीन घन	x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)	गुणा करने पर नौ मिश्रित पद तीन-तीन के समूहों में कट जाते हैं	p³ + 27q³ + r³ − 9pqr; a³+b³+c³−3abc = −25 सिद्ध करना

अभ्यास

क्या यह उपयोगी रहा?

कक्षा ९ के और समाधान

अंग्रेज़ी हिंदी संस्कृत विज्ञान