कक्षा ९ गणित अध्याय 7 संभावनाओं का गणित — प्रायिकता का परिचय के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन 2026-09-19

इस अध्याय के बारे में

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का मापन है , जिसे 0 से 1 तक के पैमाने पर व्यक्त किया जाता है। किसी घटना E के लिए 0 ≤ P(E) ≤ 1. P(E) = 0 का अर्थ असंभव, P(E) = 1 का अर्थ निश्चित और P(E) = 1/2 का अर्थ समप्रायिक है। इस अंतराल के बाहर की कोई संख्या प्रायिकता नहीं हो सकती। यादृच्छिक प्रयोग वह है जिसकी पुनरावृत्ति की जा सके, जिसके सभी संभावित परिणाम पहले से ज्ञात हों, परंतु किसी एक परीक्षण का परिणाम पहले से ज्ञात न हो। सभी संभावित परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि S है; उसका प्रत्येक तत्त्व एक परिणाम है; तत्त्वों की संख्या प्रतिदर्श आकार n(S) है। घटना , S का कोई भी उपसमुच्चय है — एक परिणाम, कई परिणाम अथवा एक भी नहीं। प्रायोगिक प्रायिकता = (घटना के घटित होने की संख्या) ÷ (परीक्षणों की कुल संख्या)। यह एक सापेक्षिक आवृत्ति है — यह आपके पास उपलब्ध आँकड़ों का वर्णन करती है, अतः भिन्न पर

त्वरित पुनरावृत्ति

संकल्पना	संकेत / सूत्र	इसका वास्तविक अर्थ	सामान्य भूल
परिणाम	S का एक तत्त्व	एक परीक्षण का एक पूर्ण फल	परिणामों के समूह को एक परिणाम मान लेना
प्रतिदर्श समष्टि	S = {प₁, प₂, …, प_n}	प्रत्येक संभावित परिणाम, ठीक एक बार	कोई परिणाम छूट जाना या दो बार लिखा जाना
प्रतिदर्श आकार	n(S)	S में कितने परिणाम हैं	परिणामों के स्थान पर प्रकारों को गिनना
घटना	E ⊆ S	S में से चुने गए परिणामों का समुच्चय	यह भूलना कि E में 0, 1 या अनेक परिणाम हो सकते हैं
प्रायोगिक प्रायिकता	(घटना घटित होने की संख्या)/(कुल परीक्षण)	आँकड़ों से मापी गई सापेक्षिक आवृत्ति	यह अपेक्षा करना कि यह सैद्धांतिक मान के ठीक बराबर होगी
सैद्धांतिक प्रायिकता	P(A) = n(A)/n(S)	समप्रायिक परिणामों में अनुकूल परिणामों का अंश	परिणामों के समप्रायिक न होने पर भी इसका उपयोग
प्रायिकता का पैमाना	0 ≤ P(E) ≤ 1	0 असंभव · 1/2 समप्रायिक · 1 निश्चित	1 से बड़ा या ऋणात्मक उत्तर लिख देना
पूरक	P(E नहीं) = 1 − P(E)	प्रत्येक परीक्षण में या तो E होगी या नहीं	घटाने के स्थान पर जोड़ देना
द्वि-चरणीय वृक्ष	P(पथ) = उसकी शाखाओं का गुणनफल	एक पथ की शाखाएँ एक के बाद एक घटित होती हैं	जोड़ने के स्थान पर गुणा करना और इसके विपरीत
स्वतंत्रता	पूर्व परिणाम से P नहीं बदलती	निष्पक्ष पासे की कोई स्मृति नहीं होती	द्यूतकार का भ्रम — 6 अब 'आना ही चाहिए'
बिना प्रतिस्थापन	दूसरे चरण का हर 1 कम हो जाता है	पहली निकासी से बक्सा सचमुच बदल गया है	दूसरे चरण में भी पहले चरण की भिन्नें लगाना
बृहत् संख्याओं का नियम	प्रायोगिक → सैद्धांतिक	अधिक परीक्षण, अधिक स्थिर सापेक्षिक आवृत्ति	इसे अगले परीक्षण का वादा समझ लेना

अभ्यास

क्या यह उपयोगी रहा?

कक्षा ९ के और समाधान

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