कक्षा ९ गणित अध्याय 6 समष्टि मापन — परिमाप और क्षेत्रफल के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन 2026-09-19

इस अध्याय के बारे में

प्रत्येक वृत्त के लिए परिधि और व्यास का अनुपात एक ही संख्या π है। अतः C = 2πr = πd । π अपरिमेय है (लैम्बर्ट, 1761), इसलिए कोई भी भिन्न उसके बराबर नहीं — π ≈ 22/7 है किंतु π ≠ 22/7 । अधिक सटीक मान 355/113 (जू चोंगजी) और 3.1416 (आर्यभट) हैं; माधव ने पहला सटीक सूत्र दिया — π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … वृत्त में घूर्णन सममिति है, इसलिए केंद्र पर θ° अंतरित करने वाली चाप पूरे वृत्त का θ/360 भाग होती है। अतः चाप की लंबाई = 2πr × θ°/360° तथा त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × θ°/360° । अर्द्धवृत्त (πr) और चतुर्थांश (πr/2) इन्हीं के θ = 180° और θ = 90° वाले रूप हैं। आयत का क्षेत्रफल = ab ; समांतर चतुर्भुज का = आधार × ऊँचाई (एक सिरे से त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर लगाइए); त्रिभुज का = ½ × आधार × ऊँचाई (दो सर्वांगसम प्रतियाँ मिलकर समांतर चतुर्भुज बनाती हैं)। केवल भुजाओं की लंबाई से न समांतर चतुर्भुज का

त्वरित पुनरावृत्ति

राशि	सूत्र	कहाँ से आया	किस बात का ध्यान रखें
वृत्त की परिधि	C = 2πr = πd	π प्रत्येक वृत्त का स्थिर C/D अनुपात है	π ≈ 22/7 है, किंतु π ≠ 22/7
चाप की लंबाई	l = 2πr × θ°/360°	चाप पूरे वृत्त का θ/360 भाग है	θ केंद्र पर बना कोण होना चाहिए
त्रिज्यखंड का परिमाप	2πr × θ°/360° + 2r	वक्र चाप और दो सीमांत त्रिज्याएँ	दोनों त्रिज्याएँ जोड़ना न भूलें
वृत्त का क्षेत्रफल	A = πr²	½ × परिधि × त्रिज्या (आर्किमिडीज)	त्रिज्या लीजिए, व्यास नहीं
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल	A = πr² × θ°/360°	चाप वाला ही समानुपात तर्क	त्रिज्यखंड और वृत्तखंड अलग हैं
वृत्तखंड का क्षेत्रफल	त्रिज्यखंड − त्रिभुज	जीवा त्रिज्यखंड में से त्रिभुज काट देती है	θ < 180° पर लघु वृत्तखंड
त्रिभुज का क्षेत्रफल	½ × आधार × ऊँचाई	घेरने वाले आयत का आधा	ऊँचाई उसी आधार पर लंब हो
हीरोन का सूत्र	√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = ½(a+b+c)	केवल तीनों भुजाओं की आवश्यकता	ऊँचाई न दी हो तब सर्वोत्तम
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल	आधार × ऊँचाई	एक सिरे का त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर	केवल दो भुजाएँ पर्याप्त नहीं
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल	½(a + b)h	दो प्रतियाँ a+b आधार का समांतर चतुर्भुज बनाती हैं	a और b समांतर भुजाएँ हैं
चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल	√((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))	ब्रह्मगुप्त; d = 0 पर हीरोन	केवल परिवृत्त वाले चतुर्भुजों के लिए
त्रिभुज की माध्यिका	समान क्षेत्रफल के दो भाग	आधार BD = DC, ऊँचाई समान	दोनों भाग प्रायः सर्वांगसम नहीं होते

अभ्यास

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कक्षा ९ के और समाधान

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