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कक्षा ४ गणित अध्याय 10 योग सारणी के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
नीचे दी गई सारणी को देखिए और चर्चा कीजिए कि यह कैसे बनी है।
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

हर बक्सा पंक्ति की संख्या और स्तंभ की संख्या को जोड़कर बना है।

पंक्ति 6 और स्तंभ 5 का बक्सा
= 6 + 5 = 11

ऊपर का नीला भाग एक संख्या देता है और बाईं ओर का गुलाबी भाग दूसरी संख्या देता है।

ऐसा क्यों होता है: यह सारणी एक तैयार उत्तर-पत्र है। हर बार जोड़ने के बजाय हम बस देखते हैं कि पंक्ति और स्तंभ कहाँ मिलते हैं।
प्र2.
सारणी में कुछ प्रतिरूपों (पैटर्न) पहचानिए।
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

चार आसान प्रतिरूप देखिए।

  • एक कदम दाईं ओर जाने पर संख्या 1 बढ़ जाती है।
  • एक कदम नीचे जाने पर भी संख्या 1 बढ़ जाती है।
  • एक कदम नीचे और एक कदम बाईं ओर जाने पर संख्या वही रहती है। इसलिए तिरछी रेखाओं में एक ही संख्या मिलती है।
  • सारणी मुख्य विकर्ण के दोनों ओर एक जैसी है, क्योंकि 6 + 5 और 5 + 6 बराबर हैं।
ऐसा क्यों होता है: दाईं ओर जाने पर स्तंभ की संख्या 1 बढ़ती है और नीचे जाने पर पंक्ति की संख्या 1 बढ़ती है, इसलिए योग भी 1 बढ़ता है।
प्र3.
सारणी में उन बक्सों को ध्यान से देखिए जिनमें संख्या 9 आई है। यहाँ आपने कितने 9 देखे? ऐसी ही अन्य संख्याओं के विषय में आपका क्या विचार है?
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

संख्या 9 सारणी में 10 बार आई है।

0 + 9, 1 + 8, 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5,
5 + 4, 6 + 3, 7 + 2, 8 + 1, 9 + 0
अर्थात् 10 बक्से, और वे सब एक तिरछी रेखा पर हैं।

अन्य संख्याओं के लिए:

संख्याकितनी बार
01
56
910
1213 (सबसे अधिक)
187
241
ऐसा क्यों होता है: 12 तक हर संख्या स्वयं से एक बार अधिक आती है। 12 के बाद गिनती फिर घटने लगती है, क्योंकि सारणी 12 पर समाप्त हो जाती है।
प्र4.
क्या यहाँ ऐसी पंक्तियाँ या स्तंभ हैं जिनमें या तो केवल सम संख्याएँ हैं या केवल विषम संख्याएँ। अपने अवलोकन को स्पष्ट कीजिए।
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

नहीं। ऐसी न कोई पंक्ति है और न कोई स्तंभ।

पंक्ति 3 → 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
विषम, सम, विषम, सम … बारी-बारी से

हर पंक्ति में संख्याएँ 1-1 बढ़ती जाती हैं, इसलिए सम और विषम बारी-बारी से आते हैं।

ऐसा क्यों होता है: 1 जोड़ने पर सम संख्या विषम बन जाती है और विषम संख्या सम बन जाती है — हर बार।
प्र5.
सारणी में गहरे लाल रंग से चिह्नित खिड़की की चौखट को देखिए। (क) प्रत्येक पंक्ति में दो संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

लाल खिड़की में चार संख्याएँ हैं।

10    11
11    12

पंक्तियों के योग:

ऊपर की पंक्ति: 10 + 11 = 21
नीचे की पंक्ति: 11 + 12 = 23
ऐसा क्यों होता है: नीचे की पंक्ति की दोनों संख्याएँ 1-1 बड़ी हैं, इसलिए उसका योग 2 अधिक है।
प्र6.
(ख) प्रत्येक स्तंभ में दो संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। आपने क्या ध्यान दिया?
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
बायाँ स्तंभ: 10 + 11 = 21
दायाँ स्तंभ: 11 + 12 = 23

ये वही दो योग हैं जो पंक्तियों से मिले थे — 21 और 23।

ऐसा क्यों होता है: 10 + 11 और 11 + 10 का उत्तर एक ही होता है, इसलिए पंक्तियों और स्तंभों के योग मिल जाते हैं।
प्र7.
(ग) अब प्रत्येक विकर्ण के लिए तीर से चिह्नित संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। आपने क्या ध्यान दिया?
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
एक विकर्ण: 10 + 12 = 22
दूसरा विकर्ण: 11 + 11 = 22

दोनों विकर्णों का योग बराबर है — 22।

ऐसा क्यों होता है: एक विकर्ण में बीच की संख्या से 1 कम और 1 अधिक है; दूसरे में बीच की संख्या दो बार है। इसलिए दोनों का योग समान है।
प्र8.
(घ) अब सारणी में लाल खिड़की की चौखट को अन्य स्थानों पर भी बनाइए और पूर्व की भाँति योग ज्ञात कीजिए। आपने क्या ध्यान दिया?
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
+0123456789101112
00123456789101112
112345678910111213
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5567891011121314151617
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

खिड़की को पंक्ति 2–3 और स्तंभ 8–9 पर रखिए।

10    11
11    12
पंक्तियाँ: 10 + 11 = 21, 11 + 12 = 23
स्तंभ: 10 + 11 = 21, 11 + 12 = 23
विकर्ण: 10 + 12 = 22, 11 + 11 = 22

अब पंक्ति 7–8 और स्तंभ 3–4 पर रखिए।

10    11
11    12
फिर वही तीन उत्तर — 21, 23 और 22।

खिड़की कहीं भी रखिए, पंक्तियों के दोनों योग स्तंभों के दोनों योगों के बराबर रहते हैं और दोनों विकर्णों के योग भी बराबर रहते हैं।

ऐसा क्यों होता है: हर 2 × 2 खिड़की का रूप ऊपर न, न+1 और नीचे न+1, न+2 जैसा ही होता है। इसलिए उत्तर सदा इसी ढंग से आते हैं।
प्र9.
नीली खिड़की की चौखट में संख्याओं के बीच कुछ प्रतिरूपों का और संबंधों का पता लगाइए।
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।
उत्तर
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योग सारणी। चार संख्याओं वाला गुलाबी भाग लाल खिड़की की चौखट है और नौ संख्याओं वाला नीला भाग नीली खिड़की की चौखट है।

नीली खिड़की में नौ संख्याएँ हैं।

7    8    9
8    9    10
9    10    11
  • हर पंक्ति और हर स्तंभ में संख्याएँ 1-1 बढ़ती हैं।
  • ऊपर दाईं ओर जाने वाले विकर्ण में 9, 9, 9 है — सभी समान।
  • आमने-सामने के कोनों का योग बराबर है: 7 + 11 = 18 और 9 + 9 = 18।
  • नौ संख्याओं का योग: 7 + 8 + 9 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 = 81। और 9 × 9 = 81, अर्थात् बीच की संख्या का नौ गुना।
ऐसा क्यों होता है: बीच की संख्या 9 ठीक मध्य में है। जो संख्या उससे जितनी कम है, उसकी जोड़ीदार संख्या उतनी ही अधिक है।
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