कक्षा ५ गणित अध्याय 11 आइए करके देखें (अन्वेषण) के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों पर सही का चिह्न लगाइए।
1 से.मी. वर्ग जाल पर बनी छह आकृतियाँ।
उत्तर
(क), (ख), (ग), (घ) और (च) पर चिह्न लगाइए। इनमें से हर एक 12 वर्ग से.मी. ढकती है। केवल आकृति (ङ) अलग है — वह 8 वर्ग से.मी. ढकती है।
हर आकृति के छायांकित वर्ग गिनिए। जाल का हर वर्ग 1 से.मी. × 1 से.मी. का है, अत: हर वर्ग 1 वर्ग से.मी.।
जहाँ बन सके वहाँ पंक्ति-स्तंभ से काम लीजिए। आयत में एक-एक गिनने की जगह गुणा कीजिए।
सीढ़ीनुमा आकृति (ख) ध्यान से गिनिए। ऊपर की पंक्ति में 2 वर्ग और नीचे की पाँच पंक्तियों में 2-2 वर्ग: 2 + 10 = 12।
छहों संख्याओं की तुलना कीजिए और जो मेल खाएँ उन पर चिह्न लगाइए।
आकृति
कैसे बनी है
क्षेत्रफल
चिह्न?
(क)
6 चौड़ी, 2 ऊँची
12 वर्ग से.मी.
✓
(ख)
2 + (5 × 2) सीढ़ीनुमा
12 वर्ग से.मी.
✓
(ग)
3 चौड़ी, 4 ऊँची
12 वर्ग से.मी.
✓
(घ)
4 चौड़ी, 3 ऊँची
12 वर्ग से.मी.
✓
(ङ)
8 चौड़ी, 1 ऊँची
8 वर्ग से.मी.
✗
(च)
12 चौड़ी, 1 ऊँची
12 वर्ग से.मी.
✓
इतनी अलग दिखने वाली आकृतियों का क्षेत्रफल एक कैसे: क्षेत्रफल केवल यह पूछता है कि कितने वर्ग हैं, यह नहीं कि कहाँ हैं। बारह वर्ग लंबी पंक्ति में हों, मोटे खंड में हों या सीढ़ी में — रहते बारह ही हैं।
प्र2.
इन आकृतियों की परिमिति ज्ञात कीजिए।
1 से.मी. वर्ग जाल पर बनी छह आकृतियाँ।
उत्तर
परिमितियाँ नीचे दी हैं। क्षेत्रफल बराबर होने पर भी ये बराबर नहीं हैं।
आकृति
क्षेत्रफल
परिमिति की गणना
परिमिति
(क) 6 × 2
12 वर्ग से.मी.
6 + 2 + 6 + 2
16 से.मी.
(ख) सीढ़ीनुमा
12 वर्ग से.मी.
किनारे की सीढ़ियाँ गिनिए
18 से.मी.
(ग) 3 × 4
12 वर्ग से.मी.
3 + 4 + 3 + 4
14 से.मी.
(घ) 4 × 3
12 वर्ग से.मी.
4 + 3 + 4 + 3
14 से.मी.
(ङ) 8 × 1
8 वर्ग से.मी.
8 + 1 + 8 + 1
18 से.मी.
(च) 12 × 1
12 वर्ग से.मी.
12 + 1 + 12 + 1
26 से.मी.
जाल पर बनी आकृति की परिमिति कैसे नापें:
पेंसिल आकृति के किसी एक कोने पर रखिए।
बाहरी रेखा पर चलिए और हर 1 से.मी. की भुजा पार करते समय ‘एक’ बोलिए।
बीच से आर-पार मत जाइए। हर सीढ़ी के अंदर-बाहर घूमिए।
जब वापस उसी कोने पर पहुँच जाएँ तो रुकिए और अपनी गिनती पढ़ लीजिए।
आकृति (ख), सीढ़ीनुमा: किनारे पर चलते हुए 1-1 से.मी. की 18 भुजाएँ पार होती हैं (ख) की परिमिति = 18 से.मी.
आयत के लिए सुझाव: चक्कर लगाने की जरूरत ही नहीं। परिमिति = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)। (च) के लिए 2 × (12 + 1) = 2 × 13 = 26 से.मी.।
प्र3.
आपने क्या ध्यान दिया? चर्चा कीजिए।
उत्तर
हमने यह ध्यान दिया: आकृतियों का क्षेत्रफल समान होने पर भी उनकी परिमिति बहुत अलग हो सकती है।
(क), (ख), (ग), (घ) और (च) — सबका क्षेत्रफल = 12 वर्ग से.मी. पर परिमिति 16 से.मी., 18 से.मी., 14 से.मी., 14 से.मी. और 26 से.मी.
सबसे कम परिमिति उन आकृतियों की है जो वर्ग के सबसे पास हैं — (ग) 3 × 4 और (घ) 4 × 3, दोनों 14 से.मी.।
सबसे अधिक परिमिति सबसे लंबी-पतली आकृति की है — (च) 12 × 1, पूरे 26 से.मी.।
सीढ़ीनुमा (ख) की बाहरी रेखा में अतिरिक्त सीढ़ियाँ हैं, इसलिए उसे उसी 12 वर्ग वाले सीधे आयत (क) से ज्यादा किनारा चाहिए।
ऐसा क्यों होता है: कपड़े के 12 टुकड़े सोचिए। यदि आप उन्हें मोटे खंड में सिल दें तो ज्यादातर जोड़ अंदर छिप जाते हैं और बाहर थोड़ा ही किनारा बचता है। यदि उन्हें एक लंबी पट्टी में सिल दें तो लगभग हर टुकड़े की दो भुजाएँ बाहर आ जाती हैं और किनारा बहुत लंबा हो जाता है। कपड़ा वही, पर फीता बहुत अलग।
चर्चा के लिए नमूना उत्तर: “पाँचों आकृतियों में कपड़ा बराबर लगेगा, क्योंकि हर एक 1-1 से.मी. के 12 वर्गों से बनी है। पर फीता बराबर नहीं लगेगा। 3 × 4 वाली आकृति में केवल 14 से.मी. फीता लगेगा, जबकि 12 × 1 की पट्टी में 26 से.मी.। अत: क्षेत्रफल जानने से परिमिति का पता नहीं चलता।”
प्र4.
समान परिमिति वाली आकृतियों पर सही का चिह्न लगाइए।
1 से.मी. वर्ग जाल पर बनी पाँच आकृतियाँ।
उत्तर
(ग), (घ) और (ङ) पर चिह्न लगाइए। इन तीनों की परिमिति 16 से.मी. है। (क) और (ख) की भी आपस में जोड़ी बनती है — दोनों 12 से.मी.।
सीढ़ीदार आकृति की परिमिति कैसे गिनें:
बाहरी रेखा के किसी कोने से शुरू कीजिए और एक दिशा चुन लीजिए।
पूरी बाहरी रेखा पर चलिए और हर 1 से.मी. की भुजा गिनते जाइए।
हर सीढ़ी के अंदर-बाहर घूमिए। कोने से छोटा रास्ता मत लीजिए।
जहाँ से चले थे वहीं रुकिए और कुल गिनती पढ़ लीजिए।
आकृति
परिमिति
चिह्न?
(क)
12 से.मी.
— ((ख) से मेल)
(ख)
12 से.मी.
— ((क) से मेल)
(ग)
16 से.मी.
✓
(घ)
16 से.मी.
✓
(ङ)
16 से.मी.
✓
(क) और (ख) की परिमिति कम क्यों: दोनों लगभग भरे हुए 3 × 3 खंड जैसी हैं — मोटी, सुडौल आकृति जिसका किनारा छोटा होता है। (ग), (घ) और (ङ) फैली हुई हैं — जोड़ जैसी आकृति, एक ‘L’ और एक लंबी पट्टी — इसलिए उनकी बाहरी रेखा में ज्यादा भुजाएँ निकली रहती हैं।
प्र5.
इन आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1 से.मी. वर्ग जाल पर बनी पाँच आकृतियाँ।
उत्तर
पाँचों आकृतियों का क्षेत्रफल समान है — प्रत्येक 7 वर्ग से.मी.।
आकृति
गिनने का तरीका
क्षेत्रफल
परिमिति
(क)
3 + 3 + 1
7 वर्ग से.मी.
12 से.मी.
(ख)
3 + 2 + 2
7 वर्ग से.मी.
12 से.मी.
(ग)
2 + 1 + 3 + 1
7 वर्ग से.मी.
16 से.मी.
(घ)
4 + 3
7 वर्ग से.मी.
16 से.मी.
(ङ)
एक पंक्ति में 7
7 वर्ग से.मी.
16 से.मी.
एक बार में एक आकृति लीजिए।
पंक्ति-दर-पंक्ति छायांकित वर्ग गिनिए और हर पंक्ति की गिनती लिख लीजिए।
पंक्तियों की गिनती जोड़िए। आकृति (ग) के लिए: 2 + 1 + 3 + 1 = 7।
मात्रक लिखिए। जाल का हर वर्ग 1 वर्ग से.मी. है, अत: क्षेत्रफल 7 वर्ग से.मी.।
पंक्ति-दर-पंक्ति गिनना ज्यादा सुरक्षित क्यों है: सीढ़ीदार आकृतियों में कोई वर्ग छूट जाना या दो बार गिना जाना बहुत आसान है। एक-एक पंक्ति लेने से जगह याद रहती है, और चार छोटी संख्याएँ जोड़ना कोने-कोने घूमकर सात तक गिनने से आसान है।
प्र6.
आपने क्या ध्यान दिया? चर्चा कीजिए।
उत्तर
हमने यह ध्यान दिया: आकृतियों की परिमिति समान होने पर भी वे बिल्कुल अलग दिख सकती हैं — और क्षेत्रफल समान होने का यह अर्थ भी नहीं कि परिमिति समान होगी।
पाँचों आकृतियों का क्षेत्रफल = 7 वर्ग से.मी. परिमिति: (क) 12 से.मी., (ख) 12 से.मी., (ग) 16 से.मी., (घ) 16 से.मी., (ङ) 16 से.मी.
(ग), (घ) और (ङ) बिल्कुल अलग दिखती हैं — एक जोड़ जैसी, एक ‘L’ और एक सीधी पट्टी — फिर भी हर एक को ठीक 16 से.मी. फीता चाहिए।
(क) और (ख) में वही 7 वर्ग हैं पर फीता केवल 12 से.मी. चाहिए, क्योंकि वे सुडौल खंड में सिमटी हैं।
अत: परिमिति इस पर निर्भर करती है कि वर्ग कितने फैले हुए हैं, इस पर नहीं कि कितने हैं।
दोनों अन्वेषण साथ रखिए: पृष्ठ 147 पर हमने समान क्षेत्रफल और अलग परिमिति वाली आकृतियाँ देखीं। यहाँ समान परिमिति वाली ऐसी आकृतियाँ हैं जो एक-दूसरे से मिलती ही नहीं। क्षेत्रफल और परिमिति आकृति के दो अलग-अलग माप हैं। एक जानने से दूसरा कभी पता नहीं चलता।
चर्चा के लिए नमूना उत्तर: “(ग), (घ) और (ङ) — तीनों को 16 से.मी. फीता चाहिए, जबकि एक जोड़ जैसी है, एक ‘L’ और एक सीधी पट्टी। पाँचों को 7 वर्ग से.मी. कपड़ा चाहिए। अत: दो आकृतियों में फीता और कपड़ा दोनों बराबर लग सकते हैं, फिर भी वे एक जैसी नहीं होतीं।”