कक्षा ५ गणित अध्याय 11 आकृतियों की तुलना के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
ऊपर दिए गए आयतों में से किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है? सबसे अधिक क्षेत्रफल की आकृति का पता लगाने के लिए एक कागज पर इन आकृतियों की रूपरेखा (बाहरी रेखा) बनाइए एवं उन्हें काटिए।
रंगीन कागज से काटे गए तीन आयत।
उत्तर
आयत ‘क’ का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
पुस्तक के अनुसार कागज और कैंची से इस तरह पता कीजिए।
तीनों आयतों की रूपरेखा कागज पर बनाइए और साफ-साफ काट लीजिए।
‘क’ को ‘ख’ पर रखिए। ‘ख’ पूरी तरह ‘क’ के नीचे छिप जाता है और ‘क’ का कुछ भाग बाहर दिखता है। अत: ‘क’ बड़ा है।
‘क’ को ‘ग’ पर रखिए। ‘ग’ पतला पर लंबा है, इसलिए नीचे से बाहर निकलता है और ‘क’ बगल से। कोई किसी को नहीं छिपाता, अत: अभी निर्णय नहीं हुआ।
काटकर जमाइए। ‘ग’ का जो भाग बाहर निकल रहा है उसे काटकर बाकी के बगल में सरका दीजिए। अब ‘ग’ ‘क’ के भीतर आ जाता है और ‘क’ का थोड़ा भाग फिर भी बचता है। अत: ‘क’ सबसे बड़ा है।
काटने की जरूरत क्यों पड़ी: एक आकृति को दूसरी पर रखने से तभी निर्णय होता है जब एक दूसरी को पूरी तरह ढक ले। जब दोनों कहीं-न-कहीं बाहर निकलती हों तो आँख निर्णय नहीं कर पाती। काटकर जमाने से दोनों एक जैसी आकृति बन जाती हैं और तुलना हो जाती है।
आगे: पृष्ठ 145 पर पुस्तक एक बहुत आसान औज़ार देती है — वर्ग जाल। फिर बस वर्ग गिनिए, काटने की जरूरत ही नहीं।
प्र2.
क्या आपको देख कर लगता है कि आयत ‘क’ का क्षेत्रफल आयत ‘ख’ के क्षेत्रफल से अधिक है? आयत ‘ख’ व आयत ‘ग’ के बारे में आप क्या कहेंगे?
उत्तर
हाँ, ‘क’ का क्षेत्रफल ‘ख’ से अधिक है। और ‘ग’ का क्षेत्रफल भी ‘ख’ से अधिक है। अत: अभी तक ‘क’ और ‘ग’ दोनों ‘ख’ से ऊपर हैं।
वर्ग गिनिए: क = 12, ख = 8, ग = 10।
‘क’ का क्षेत्रफल = 3 × 4 = 12 वर्ग इकाई ‘ख’ का क्षेत्रफल = 2 × 4 = 8 वर्ग इकाई ‘ग’ का क्षेत्रफल = 2 × 5 = 10 वर्ग इकाई
क और ख। दोनों 4 वर्ग ऊँचे हैं, पर ‘क’ 3 वर्ग चौड़ा है और ‘ख’ केवल 2 वर्ग। ऊँचाई बराबर, चौड़ाई अधिक, अत: क > ख।
ख और ग। दोनों 2 वर्ग चौड़े हैं, पर ‘ग’ 5 वर्ग ऊँचा है और ‘ख’ केवल 4। चौड़ाई बराबर, ऊँचाई अधिक, अत: ग > ख।
इन दो जोड़ियों की तुलना आँख से क्यों हो जाती है: हर जोड़ी में एक माप बराबर है। जब केवल एक माप बदलता है तो बड़ा कौन है, यह आसानी से दिख जाता है। कठिनाई तभी आती है जब दोनों माप बदल जाएँ — जैसे ‘क’ और ‘ग’ में।
प्र3.
आयत ‘क’ और आयत ‘ग’ में से किसका क्षेत्रफल अधिक है? आप इसका पता कैसे लगाएँगे?
उत्तर
‘क’ का क्षेत्रफल अधिक है। ‘क’ 12 वर्ग इकाई ढकता है और ‘ग’ 10 वर्ग इकाई।
पता लगाने के दो तरीके हैं।
पहला तरीका — काटकर जमाना। दोनों की रूपरेखा बनाकर काटिए, फिर ‘ग’ के टुकड़े करके उन्हें ‘क’ के भीतर रखिए। सब टुकड़े आ जाते हैं और ‘क’ के 2 वर्ग फिर भी खाली रहते हैं। अत: ‘क’ बड़ा है।
दूसरा तरीका — वर्ग जाल। दोनों आयतों को एक ही वर्ग जाल पर रखिए और गिनिए कि हर एक कितने वर्ग ढकता है। ‘क’ 12 और ‘ग’ 10।
‘क’ 3 वर्ग चौड़ा और 4 वर्ग ऊँचा → 3 × 4 = 12 ‘ग’ 2 वर्ग चौड़ा और 5 वर्ग ऊँचा → 2 × 5 = 10 12 > 10, अत: ‘क’ बड़ा है
‘ग’ के ऊँचा होने पर भी ‘क’ क्यों जीतता है: ‘ग’ 1 वर्ग ऊँचा जरूर है, पर 1 वर्ग पतला भी है। 4 वर्गों का पूरा स्तंभ खोना, 2 वर्गों की छोटी पंक्ति पाने से ज्यादा भारी पड़ता है। क्षेत्रफल दोनों मापों पर मिलकर निर्भर करता है, केवल ऊँचाई पर नहीं।
क्रम: क (12) > ग (10) > ख (8)।
प्र4.
आइए इन आयतों को एक वर्ग जाल (ग्रिड) पर रखते हैं। अब क्या आप उस आयत को पहचान सकते हैं जिसका क्षेत्रफल सबसे अधिक हो?
उत्तर
हाँ — आयत ‘क’, जिसका क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।
क = 12, ख = 8, ग = 10 वर्ग इकाई। ‘क’ सबसे बड़ा है।
‘क’ देखिए। चौड़ाई में 3 वर्ग, लंबाई में 4 पंक्तियाँ। 3 × 4 = 12 वर्ग इकाई।
‘ख’ देखिए। चौड़ाई में 2 वर्ग, लंबाई में 4 पंक्तियाँ। 2 × 4 = 8 वर्ग इकाई।
‘ग’ देखिए। चौड़ाई में 2 वर्ग, लंबाई में 5 पंक्तियाँ। 2 × 5 = 10 वर्ग इकाई।
तुलना कीजिए। 12 सबसे बड़ा है, अत: ‘क’ का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
क = 12 वर्ग इकाई · ख = 8 वर्ग इकाई · ग = 10 वर्ग इकाई ‘क’ का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
वर्ग जाल से यह इतना आसान क्यों हो जाता है: जाल के सभी वर्ग बिल्कुल बराबर हैं। इसलिए जो आकृति ज्यादा वर्ग ढके, वह ज्यादा सतह ढकती है। न आँख से अंदाज़ा लगाना पड़ता है, न कुछ काटना। इसीलिए पुस्तक कहती है कि क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए वर्ग जाल सबसे सुविधाजनक विधि है। 1 इकाई भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई होता है।
नया शब्द:वर्ग इकाई — जाल का एक छोटा वर्ग, जिससे हम सतह गिनते हैं। जब जाल के वर्ग 1 से.मी. के हों तो एक वर्ग इकाई 1 वर्ग से.मी. होती है।