कक्षा ५ गणित अध्याय 3 कोण मापने के उपकरण के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
अनुरेखण कागज (ट्रेसिंग पेपर) से एक वृत्त को काटिए और उसे मोड़ कर 8 समान भाग बनाइए। केंद्र में एक स्ट्रॉ लगाइए और दर्शाए गए चित्र के अनुसार प्रारंभिक बिंदु को चिह्नित कीजिए।
अनुरेखण कागज का वृत्त 8 बराबर भागों में मुड़ा हुआ, केंद्र में स्ट्रॉ लगी है। प्रारंभिक बिंदु क वहीं है जहाँ अभी स्ट्रॉ का सिरा है।
उत्तर
इन चरणों का ध्यान से पालन कीजिए। मोड़ साफ़ होने चाहिए, नहीं तो भाग बराबर नहीं बनेंगे।
अनुरेखण कागज पर कटोरी या गिलास उलटा रखकर उसके चारों ओर रेखा खींचिए और वृत्त काट लीजिए।
वृत्त को ठीक बीच से आधा मोड़िए। मोड़ दबाइए। अब 2 बराबर भाग हैं।
फिर से आधा मोड़िए। दबाइए। अब 4 बराबर भाग हैं।
एक बार और आधा मोड़िए। दबाइए और खोलिए — अब 8 बराबर भाग हैं।
जहाँ सारी मोड़-रेखाएँ मिलती हैं वही केंद्र है। वहाँ स्ट्रॉ लगाइए ताकि वह उसी बिंदु पर घूम सके।
किनारे पर एक मोड़-रेखा को चिह्नित करके वहाँ क लिखिए। यही आपका प्रारंभिक बिंदु है। स्ट्रॉ को हर बार वहीं से चलाइए।
वृत्त 8 बराबर भागों में मुड़ा हुआ। स्ट्रॉ क से चलकर अगली मोड़-रेखा तक जाता है — 1/8 घुमाव।
ऐसा क्यों होता है: हर मोड़ हर भाग को दो बराबर हिस्सों में काट देता है। इसलिए भागों की संख्या हर बार दुगुनी होती जाती है — 2, फिर 4, फिर 8। इन 8 भागों में से हर भाग पूरे घुमाव का आठवाँ हिस्सा है।
ध्यान रखिए: स्ट्रॉ हमेशा चिह्न क से ही चलाइए। घुमाव का अर्थ तभी बनता है जब यह पता हो कि वह कहाँ से शुरू हुआ।
प्र2.
स्ट्रॉ के 1/8 घुमाव को दर्शाइए।
उत्तर
स्ट्रॉ को चिह्न क से हटाकर ठीक अगली मोड़-रेखा तक ले जाइए।
स्ट्रॉ को ठीक चिह्न क पर रखिए।
उसे उठाए बिना घुमाइए, जब तक वह अगली मोड़-रेखा पर न आ जाए।
आपने 8 बराबर भागों में से एक भाग पार किया। यही 1/8 घुमाव है।
1/8 घुमाव— स्ट्रॉ आठ बराबर भागों में से एक भाग पार करता है।
ऐसा क्यों होता है: वृत्त 8 बराबर भागों में कटा है, इसलिए 1 भाग पार करना यानी 8 में से 1 भाग पार करना — यही पूरे घुमाव का 1/8 है।
ध्यान रखिए: 1/8 घुमाव चौथाई घुमाव का आधा है, इसलिए यह सदा न्यूनकोण ही होता है।
प्र3.
स्ट्रॉ के 2/8 घुमाव को दर्शाइए। स्ट्रॉ के 1/4 घुमाव को दर्शाइए। स्ट्रॉ के 3/8 घुमाव को दर्शाइए।
उत्तर
हर बार क से मोड़-रेखाएँ गिनिए।
घुमाव
कितनी मोड़-रेखाएँ पार
स्ट्रॉ कहाँ रुकता है
कोण
2/8 घुमाव
2
वृत्त का एक-चौथाई भाग पार
समकोण
1/4 घुमाव
2
2/8 वाली जगह ही
समकोण
3/8 घुमाव
3
चौथाई चिह्न से आगे
अधिककोण
2/8 = 1/4 (दोनों का अर्थ है 8 में से 2 भाग) अतः 2/8 घुमाव और 1/4 घुमाव एक ही घुमाव हैं
3/8 घुमाव— आठ में से तीन भाग। यह चौथाई चिह्न से आगे है, इसलिए कोण अधिककोण है।
ऐसा क्यों होता है: 8 भाग मिलकर पूरा घुमाव बनाते हैं, इसलिए 2 भाग 2/8 हैं। दो-बटा-आठ और एक-बटा-चार तुल्य भिन्न हैं — एक ही मात्रा दो तरह से लिखी हुई।
प्र4.
स्ट्रॉ के 2/8 घुमाव से आपने कौन-सा कोण बनाया है? एक 1/8 घुमाव एक-चौथाई घुमाव का आधा होता है।
उत्तर
समकोण।
2/8 घुमाव = 1/4 घुमाव = एक-चौथाई घुमाव = समकोण
2/8 घुमाव एक-चौथाई घुमाव है — समकोण, यानी चौकोर कोना।
ऐसा क्यों होता है: पुस्तक का संकेत बताता है कि 1/8 घुमाव चौथाई घुमाव का आधा है। ऐसे दो आधे मिलकर एक पूरा चौथाई घुमाव बनाते हैं — और एक-चौथाई घुमाव ठीक समकोण है।
स्वयं जाँचिए: अभ्यास पुस्तिका का कोना खुलाव में रखिए। वह ठीक-ठीक बैठ जाना चाहिए।
प्र5.
स्ट्रॉ के 4/8 एक घुमाव के साथ आपने कौन-सा कोण बनाया है?
उत्तर
सरल कोण।
4/8 घुमाव = 1/2 घुमाव = आधा घुमाव स्ट्रॉ अब प्रारंभ से ठीक उलटी ओर है अतः यह सरल कोण है
4/8 घुमाव आधा घुमाव है। स्ट्रॉ और प्रारंभिक चिह्न एक ही सीधी रेखा बनाते हैं।
ऐसा क्यों होता है: 8 बराबर भागों में से 4 भाग उनका आधा है। पूरे घुमाव का आधा स्ट्रॉ को दूसरी ओर ले जाता है, इसलिए वह प्रारंभिक चिह्न के साथ एक सीधी रेखा में आ जाता है।
प्र6.
नियमित 5/8, 6/8, 7/8 और 8/8 घूमिए। जाँचिए कि कब आपने 3/4 चक्कर और एक पूरा चक्कर पूर्ण किया।
उत्तर
क से मोड़-रेखाएँ गिनते रहिए।
घुमाव
बराबर है
क्या है
5/8 घुमाव
—
आधे घुमाव से अधिक
6/8 घुमाव
3/4 घुमाव
तीन-चौथाई चक्कर
7/8 घुमाव
—
लगभग पूरा चक्कर
8/8 घुमाव
1 पूरा
पूरा चक्कर — वापस क पर
3/4 चक्कर 6/8 पर पूरा होता है, क्योंकि 6/8 = 3/4 पूरा चक्कर 8/8 पर पूरा होता है, क्योंकि 8/8 = 1
6/8 पर स्ट्रॉ तीन-चौथाई चक्कर पूरा कर लेता है।
ऐसा क्यों होता है: 6/8 के ऊपर और नीचे दोनों को 2 से भाग देने पर 3/4 मिलता है — वही मात्रा। और जब 8 में से आठों भाग पार हो जाते हैं तब कुछ शेष नहीं बचता; स्ट्रॉ फिर घर लौट आता है।
प्र7.
अब वृत्त के 1/8 भाग और 2/8 भाग को काटकर किसी मोटे कागज अथवा गत्ते पर चिपकाइए। इन्हें कोण मापने के उपकरण के रूप में उपयोग कीजिए।
उत्तर
ये दोनों कटे हुए टुकड़े ही आपके मापने के उपकरण हैं। इन्हें ऐसे बनाइए और चलाइए—
मोड़-रेखाओं पर काटकर एक अकेला भाग निकालिए। यही आपका 1/8 उपकरण है।
दो जुड़े हुए भाग काटिए। यही 2/8 उपकरण है (जो 1/4 उपकरण भी है — समकोण)।
दोनों को गत्ते पर चिपकाइए ताकि वे मुड़ें नहीं, और उन पर 1/8 तथा 2/8 लिख दीजिए।
कोई भी कोण मापने के लिए उपकरण की नोक ठीक कोण के कोने पर रखिए और उसका एक किनारा कोण की एक भुजा पर रखिए।
देखिए कि दूसरा किनारा दूसरी भुजा पर पड़ता है या नहीं। पड़ता है तो कोण 1/8 घुमाव (या 2/8 घुमाव) है।
यदि कोण बड़ा है तो उपकरण को आगे खिसकाकर फिर लगाइए। गिनिए कि वह कितनी बार बैठा — पुस्तक इसी को “मापों का संयोजन” कहती है।
उदाहरण: जिस कोण में 1/8 उपकरण ठीक 3 बार बैठे = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 घुमाव
ध्यान रखिए: दोनों उपकरण अपने ज्यामिति बॉक्स में रखिए। पृष्ठ 38 और 39 के हर प्रश्न में इनकी ज़रूरत पड़ेगी।
प्र8.
अब अनुरेखण कागज से एक वृत्त काटिए। सबसे पहले वृत्त को आधा मोड़िए और पुनः उसे 3 समान भागों में मोड़िए। वृत्त के केंद्र में एक स्ट्रॉ लगाइए। प्रारंभिक बिंदु को चिह्नित कीजिए और मोड़ों को 1/6, 2/6 और आगे इसी प्रकार दिखाइए जब तक आप एक वृत्त पूरा न कर लें।
उत्तर
यह दूसरा उपकरण वृत्त को 8 नहीं बल्कि 6 बराबर भागों में काटता है।
अनुरेखण कागज का एक नया वृत्त काटिए।
उसे ठीक आधा मोड़िए। अब 2 बराबर भाग हैं।
अब उस आधे को चिट्ठी की तरह 3 बराबर भागों में मोड़िए। मोड़ दबाइए।
वृत्त खोलिए। मोड़-रेखाओं ने उसे 2 × 3 = 6 बराबर भागों में काट दिया है।
केंद्र में स्ट्रॉ लगाइए और किनारे पर प्रारंभिक बिंदु चिह्नित कीजिए।
स्ट्रॉ को एक-एक मोड़-रेखा आगे बढ़ाइए— 1/6, फिर 2/6, फिर 3/6, 4/6, 5/6 और 6/6।
घुमाव
बराबर है
कोण
1/6 घुमाव
—
न्यूनकोण
2/6 घुमाव
1/3 घुमाव
अधिककोण
3/6 घुमाव
1/2 घुमाव
सरल कोण
4/6 घुमाव
2/3 घुमाव
सरल कोण से अधिक
5/6 घुमाव
—
लगभग पूरा घुमाव
6/6 घुमाव
1 पूरा
पूर्ण घुमाव
छह भागों वाले वृत्त का एक भाग— 1/6 घुमाव, यानी न्यूनकोण।
ऐसा क्यों होता है: पहला मोड़ 2 भाग बनाता है। उनमें से हर भाग को 3 में मोड़ने पर हर आधे में 3 टुकड़े बनते हैं — यानी पूरे वृत्त में 6 बराबर टुकड़े।
प्र9.
एक वृत्त से 1/6 भाग और 2/6 भाग को काटिए। उसमें से 1/6 भाग को आधा मोड़िए। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि स्ट्रॉ का कौन-सा मोड़ 1/6 मोड़ का आधा होगा? यह 1/12 मोड़ के समान है।
उत्तर
1/6 घुमाव का आधा 1/12 घुमाव होता है।
वृत्त को 6 बराबर भागों में काटिए अब हर भाग को 2 में काटिए भागों की संख्या = 6 × 2 = 12 अतः 1/6 का आधा = पूरे घुमाव का 1/12
1/6 भाग का आधा 1/12 घुमाव है — यह आपका सबसे छोटा उपकरण होगा।
ऐसा क्यों होता है: जब किसी पूरे के हर टुकड़े को दो में काटा जाता है तब टुकड़े दुगुने हो जाते हैं और हर नया टुकड़ा आधा रह जाता है। छह टुकड़े बारह बन जाते हैं, इसलिए एक-बटा-छह एक-बटा-बारह बन जाता है।
क्या आप जानते हैं? बड़े लोग घुमाव को अंश (डिग्री) में मापते हैं। पूरा घुमाव 360 डिग्री का होता है, इसलिए 1/12 घुमाव 30 डिग्री और एक-चौथाई घुमाव 90 डिग्री का होता है। डिग्री आप आगे की कक्षा में पढ़ेंगे — इस अध्याय में घुमाव ही पर्याप्त हैं।