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कक्षा ५ गणित अध्याय 4 त्वरित योग और अंतर के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
सुकांत को संख्याएँ 10, 100, 1000 और 10,000 पसंद हैं। वह यह पता लगाना चाहता है कि एक दी गई संख्या में कौन-सी संख्या का योग किया जाए कि योगफल 100 अथवा 1000 प्राप्त हो। रिक्त स्थान में उपयुक्त संख्या की पूर्ति करने हेतु उसकी सहायता कीजिए। 32 + ________ = 100
उत्तर

32 + 68 = 100

पिकू की विधि, तीन चरणों में।

  1. पहले 100 के स्थान पर 99 का लक्ष्य लीजिए। 32 के हर अंक को 9 में से घटाइए: 9 − 3 = 6 और 9 − 2 = 7। अत: 32 + 67 = 99।
  2. 100, 99 से 1 अधिक है, इसलिए 67 में 1 जोड़िए: 67 + 1 = 68।
  3. अत: 32 + 68 = 100।
3 2
+ 6 7
———
  9 9     →     32 + 68 = 100
पहले 99 का लक्ष्य क्यों सरल है: 99 का हर अंक 9 है, और किसी भी अंक का मान 9 से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए उधार लेने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती — आप मन में ही हर अंक को 9 में से घटा लेते हैं।
स्वयं जाँचिए: 32 + 68 → इकाई 2 + 8 = 10, 0 लिखिए और 1 हासिल; दहाई 3 + 6 + 1 = 10। उत्तर 100 ✓
प्र2.
क्या आप विचार से यह विधि सदैव कार्य करेगी?
उत्तर

हाँ — 100 बनाने के लिए 100 से छोटी किसी भी पूर्ण संख्या पर, और उसी प्रकार 1,000 तथा 10,000 के लिए भी।

यह सदैव क्यों चलती है: 100 सदैव 99 + 1 होता है। 99 तक पहुँचने में उधार नहीं लेना पड़ता, क्योंकि 9 किसी अंक का सबसे बड़ा मान है और आपकी संख्या का हर अंक 9 या उससे कम ही होगा। 99 पर पहुँचते ही आप 100 से केवल 1 दूर रह जाते हैं, इसलिए 1 जोड़कर काम पूरा हो जाता है। यही तर्क 1,000 (जो 999 + 1 है) और 10,000 (जो 9,999 + 1 है) पर भी लागू होता है।

याद रखने का नियम

  1. 100 बनाने के लिए हर अंक को 9 में से घटाकर 99 तक पहुँचिए, फिर 1 जोड़िए।
  2. 1,000 बनाने के लिए हर अंक को 9 में से घटाकर 999 तक पहुँचिए, फिर 1 जोड़िए।
  3. 10,000 बनाने के लिए हर अंक को 9 में से घटाकर 9,999 तक पहुँचिए, फिर 1 जोड़िए।
46 पर आजमाइए: 9 − 4 = 5, 9 − 6 = 3, अत: 46 + 53 = 99
फिर 53 + 1 = 54, अत: 46 + 54 = 100 ✓
प्र3.
59 + ________ = 100. संख्या 59 के साथ इस विधि का प्रयोग कीजिए।
उत्तर

59 + 41 = 100

  1. पहले 99 का लक्ष्य लीजिए। 9 − 5 = 4 और 9 − 9 = 0। अत: 59 + 40 = 99।
  2. 100 तक पहुँचने के लिए 1 जोड़िए: 40 + 1 = 41।
  3. अत: अज्ञात संख्या 41 है।
5 9
+ 4 0
———
  9 9     →     59 + 41 = 100
स्वयं जाँचिए: 59 + 41 → इकाई 9 + 1 = 10, 0 लिखिए और 1 हासिल; दहाई 5 + 4 + 1 = 10। उत्तर 100 ✓
प्र4.
अब, इस विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए। 877 + ________ = 1,000 और 666 + ________ = 1,000. 4,103 + ________ = 10,000 और 5,555 + ________ = 10,000
उत्तर
प्रश्नचरण 1 — सब 9 तक पहुँचिएचरण 2 — 1 जोड़िएउत्तर
877 + ___ = 1,000999 − 877 = 122122 + 1 = 123123
666 + ___ = 1,000999 − 666 = 333333 + 1 = 334334
4,103 + ___ = 10,0009,999 − 4,103 = 5,8965,896 + 1 = 5,8975,897
5,555 + ___ = 10,0009,999 − 5,555 = 4,4444,444 + 1 = 4,4454,445

877 + 123 = 1,000

  1. 877 के हर अंक को 9 में से घटाइए: 9 − 8 = 1, 9 − 7 = 2, 9 − 7 = 2। इससे 122 मिला, और 877 + 122 = 999।
  2. 1,000 तक पहुँचने के लिए 1 और जोड़िए: 122 + 1 = 123।

666 + 334 = 1,000

  1. 9 − 6 = 3 तीनों बार, अत: 666 + 333 = 999।
  2. 333 + 1 = 334।

4,103 + 5,897 = 10,000

  1. अब 9,999 लीजिए, क्योंकि 10,000 में एक अंक अधिक है। 9 − 4 = 5, 9 − 1 = 8, 9 − 0 = 9, 9 − 3 = 6। इससे 5,896 मिला।
  2. 5,896 + 1 = 5,897।

5,555 + 4,445 = 10,000

  1. 9 − 5 = 4 चारों बार, अत: 5,555 + 4,444 = 9,999।
  2. 4,444 + 1 = 4,445।
स्वयं जाँचिए: 5,555 + 4,445 → इकाई 5 + 5 = 10, और उसके बाद हर स्तंभ में 5 + 4 + 1 = 10। अंत में 10,000 ✓
प्र5.
क्या यह विधि तब भी कार्य करेगी जब इकाई अंक 0 हो? आपका क्या विचार है? रिक्त स्थान में अज्ञात संख्या की पूर्ति के लिए आप कौन-सी विभिन्न विधियों का उपयोग कर सकते हैं? अपने विचारों को कक्षा में साझा भी कीजिए। (क) 180 + ________ = 1,000 (ख) 760 + ________ = 1,000 (ग) 400 + ________ = 1,000
उत्तर

हाँ, तब भी चलती है। इकाई अंक 0 होने से कुछ नहीं बदलता, क्योंकि 9 − 0 = 9 है और उधार फिर भी नहीं लेना पड़ता।

प्रश्न999 तक1 जोड़िएउत्तर
(क) 180 + ___ = 1,000999 − 180 = 819819 + 1 = 820820
(ख) 760 + ___ = 1,000999 − 760 = 239239 + 1 = 240240
(ग) 400 + ___ = 1,000999 − 400 = 599599 + 1 = 600600

और कौन-सी विधियाँ काम आ सकती हैं

  1. सरल छलाँगों में आगे गिनिए। 180 के लिए: अगले सैकड़े तक जाइए, 180 + 20 = 200। फिर 200 + 800 = 1,000। दोनों छलाँगें जोड़िए: 20 + 800 = 820।
  2. शून्य का उपयोग कीजिए। 760 के अंत में 0 है, इसलिए पूछिए — 76 दहाई में कितनी दहाई और मिलाने से 100 दहाई बनेंगी? 100 − 76 = 24 दहाई, अर्थात 240।
  3. सीधा व्यवकलन। 1,000 − 400 = 600। जब संख्या पूरा सैकड़ा हो तो यह सबसे आसान है।

कक्षा में साझा करने के लिए नमूना उत्तर: "अंतिम अंक 0 होने पर भी 99 वाली विधि चलती है, क्योंकि 9 − 0 केवल 9 है। पर जब संख्या के अंत में एक या दो शून्य हों तो छलाँगों में गिनना और भी तेज़ है — 400 के लिए मुझे तुरंत दिख जाता है कि 600 और मिलाने से 1,000 बन जाएगा।"

स्वयं जाँचिए: 180 + 820 = 1,000 ✓   760 + 240 = 1,000 ✓   400 + 600 = 1,000 ✓
प्र6.
नमिता को संख्या 9 पसंद है। वह किसी भी संख्या में से 9 अथवा 99 का व्यवकलन करना चाहती है। किसी भी संख्या में से त्वरित 9 अथवा 99 व्यवकलित करने की एक विधि ज्ञात कीजिए। (क) 67 – 9 (ख) 83 – 9 (ग) 144 – 9 (घ) 187 – 99 (ङ) 247 – 99 (च) 763 – 99
उत्तर

विधि: 9 घटाना हो तो 10 घटाइए और फिर 1 वापस जोड़ दीजिए। 99 घटाना हो तो 100 घटाइए और फिर 1 वापस जोड़ दीजिए।

प्रश्नहलउत्तर
(क) 67 − 967 − 10 = 57, फिर 57 + 158
(ख) 83 − 983 − 10 = 73, फिर 73 + 174
(ग) 144 − 9144 − 10 = 134, फिर 134 + 1135
(घ) 187 − 99187 − 100 = 87, फिर 87 + 188
(ङ) 247 − 99247 − 100 = 147, फिर 147 + 1148
(च) 763 − 99763 − 100 = 663, फिर 663 + 1664
1 वापस क्यों जोड़ते हैं: 9, 10 से एक कम है। यदि आपने 10 घटा दिए तो एक रुपया अधिक घटा दिया, इसलिए एक रुपया लौटा देते हैं। इसी प्रकार 99, 100 से एक कम है, इसलिए 100 घटाने के बाद 1 वापस जोड़ते हैं।

10 या 100 घटाना सरल है क्योंकि इसमें केवल एक ही अंक बदलता है — 10 के लिए दहाई का अंक, 100 के लिए सैकड़े का अंक।

67 − 9
चरण 1: 67 − 10 = 57
चरण 2: 57 + 1 = 58
जाँच: 58 + 9 = 67 ✓
सभी की जाँच: 58 + 9 = 67 ✓, 74 + 9 = 83 ✓, 135 + 9 = 144 ✓, 88 + 99 = 187 ✓, 148 + 99 = 247 ✓, 664 + 99 = 763 ✓
प्र7.
अब, पुन: गणना किए बिना निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर ज्ञात करने के लिए उपर्युक्त समाधानों का उपयोग कीजिए। नमिता चकित होती है कि वह किसी भी प्रश्न का व्यवकलन करने पर उत्तर 9 अथवा 99 कैसे प्राप्त कर सकती है। (क) 32 – ________ = 9 (ख) 56 – ________ = 9 (ग) 877 – ________ = 99 (घ) 666 – ________ = 99
उत्तर

हाँ, वह किसी भी संख्या से ऐसा कर सकती है। घटाई जाने वाली संख्या केवल आरंभिक संख्या में से 9 (या 99) कम है — और यही पिछले प्रश्न वाली त्वरित विधि है।

प्रश्नत्वरित विधि से हलउत्तर
(क) 32 − ___ = 932 − 10 = 22, फिर 22 + 1 = 2323
(ख) 56 − ___ = 956 − 10 = 46, फिर 46 + 1 = 4747
(ग) 877 − ___ = 99877 − 100 = 777, फिर 777 + 1 = 778778
(घ) 666 − ___ = 99666 − 100 = 566, फिर 566 + 1 = 567567

इसे समझने का तरीका

  1. व्यवकलन की तीनों संख्याएँ एक ही परिवार बनाती हैं — पूरा − एक भाग = दूसरा भाग।
  2. यहाँ 9 एक भाग है और आरंभिक संख्या पूरा है। अत: अज्ञात भाग = आरंभिक संख्या − 9।
  3. और "9 घटाना" वही त्वरित विधि है — 10 घटाइए और 1 वापस जोड़िए।
(क) 32 − 23 = 9 ✓
(ख) 56 − 47 = 9 ✓
(ग) 877 − 778 = 99 ✓
(घ) 666 − 567 = 99 ✓
यह भी कीजिए: कोई भी संख्या लीजिए, जैसे 415। त्वरित विधि से 9 घटाइए: 415 − 10 = 405, फिर + 1 = 406। अत: 415 − 406 = 9। यह हर बार चलता है।
क्या यह उपयोगी रहा?