कक्षा ५ गणित अध्याय 4 योगफल को समान बनाना के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
विचार कीजिए यदि हम 2 और 5 को आपस में बदल दें तो योगफल का क्या होगा? दूसरे संख्या-युग्मों को आपस में बदलने का प्रयत्न कीजिए और वह एक संख्या युग्म खोजिए जिससे योगफल समान हो जाए।
उत्तर
यदि हम 2 और 5 को आपस में बदल दें तो दोनों योगफल और अधिक दूर हो जाएँगे, पास नहीं आएँगे।
बायाँ समूह अब: 1 + 5 + 7 + 9 = 22 दायाँ समूह अब: 3 + 4 + 2 + 9 = 18 बदलने से पहले योगफल 19 और 21 थे। अब 22 और 18 हैं।
ऐसा क्यों हुआ: जब आप एक छोटी संख्या बाहर भेजकर बड़ी संख्या भीतर लाते हैं तो बाएँ समूह में उन दोनों का अंतर जुड़ जाता है। 5 − 2 = 3, इसलिए बायाँ योगफल 3 बढ़ गया (19 → 22) और दायाँ 3 घट गया (21 → 18)। अंतर 2 से बढ़कर 4 हो गया।
अत: हमें उल्टा करना होगा — बाहर जाने वाली संख्या से केवल थोड़ी बड़ी संख्या भीतर लानी होगी।
सही युग्म 3 चरणों में खोजिए।
दोनों योगफल जोड़िए: 19 + 21 = 40। इसे बराबर बाँटिए: 40 ÷ 2 = 20। प्रत्येक समूह का योगफल 20 होना चाहिए।
बाएँ समूह को 20 − 19 = 1 और चाहिए। इसलिए भीतर आने वाली संख्या बाहर जाने वाली से ठीक 1 अधिक होनी चाहिए।
ऐसा युग्म खोजिए — 2 बाएँ समूह में है और 3 दाएँ समूह में, और 3 − 2 = 1।
एक ही चाल पर्याप्त है — 2 दाईं ओर गया, 3 बाईं ओर आया, और दोनों योगफल 20 हो गए।
सुझाव: सबसे पहले कुल योगफल को आधा कीजिए। इससे लक्ष्य संख्या मिल जाती है और फिर पता चल जाता है कि छोटे समूह को कितना बढ़ना है।
प्र2.
(क) दोनों समूहों के बीच संख्याओं के युग्मों को इस प्रकार बदलिए कि उनका योगफल समान हो जाए। कम से कम चालों का उपयोग कीजिए। बायाँ समूह: 1, 2, 7, 9 (योगफल 19)। दायाँ समूह: 3, 4, 5, 9 (योगफल 21)।
उत्तर
2 और 3 को आपस में बदलिए। केवल एक चाल पर्याप्त है।
दोनों समूहों का कुल योग: 19 + 21 = 40।
प्रत्येक समूह में 40 ÷ 2 = 20 होना चाहिए।
बाएँ समूह को 20 − 19 = 1 और चाहिए, इसलिए भीतर आने वाली संख्या बाहर जाने वाली से 1 अधिक हो।
2 बाहर गया, 3 भीतर आया।
बायाँ: 1 + 3 + 7 + 9 = 20 दायाँ: 2 + 4 + 5 + 9 = 20 जाँच: 20 + 20 = 40, वही कुल योग जिससे हमने आरंभ किया था ✓
प्र3.
(ख) दोनों समूहों के बीच संख्याओं के युग्मों को इस प्रकार बदलिए कि उनका योगफल समान हो जाए। कम से कम चालों का उपयोग कीजिए। बायाँ समूह: 5, 7, 12, 15 (योगफल 39)। दायाँ समूह: 9, 11, 13, 14 (योगफल 47)।
उत्तर
5 और 9 को आपस में बदलिए। एक ही चाल पर्याप्त है।
कुल योग: 39 + 47 = 86।
प्रत्येक समूह में 86 ÷ 2 = 43 होना चाहिए।
बाएँ समूह को 43 − 39 = 4 और चाहिए। अत: भीतर आने वाली संख्या बाहर जाने वाली से 4 अधिक होनी चाहिए।
एक और सही उत्तर: 7 और 11 को बदलने पर भी काम बन जाता है, क्योंकि 11 − 7 = 4 है। बायाँ: 5 + 11 + 12 + 15 = 43। दायाँ: 9 + 7 + 13 + 14 = 43।
प्र4.
(ग) दोनों समूहों के बीच संख्याओं के युग्मों को इस प्रकार बदलिए कि उनका योगफल समान हो जाए। कम से कम चालों का उपयोग कीजिए। बायाँ समूह: 11, 15, 19, 23 (योगफल 68)। दायाँ समूह: 13, 17, 21, 25 (योगफल 76)।
उत्तर
यहाँ एक चाल से काम नहीं बनेगा। दो चालें चाहिए — 11 और 13 को बदलिए, तथा 15 और 17 को बदलिए।
कुल योग: 68 + 76 = 144। प्रत्येक समूह में 144 ÷ 2 = 72 होना चाहिए।
बाएँ समूह को 72 − 68 = 4 और चाहिए।
एक चाल आजमाइए। दाएँ समूह में ऐसी संख्या खोजिए जो बाएँ समूह की किसी संख्या से ठीक 4 अधिक हो — 11 को 15 चाहिए, 15 को 19, 19 को 23, 23 को 27। इनमें से कोई भी दाएँ समूह में नहीं है। अत: एक चाल संभव नहीं।
अब दो चालें कीजिए। 11 और 15 बाहर भेजिए (योग 26) तथा 13 और 17 भीतर लाइए (योग 30)। बाएँ समूह को 30 − 26 = 4 मिल गया।
यहाँ एक चाल कभी क्यों नहीं चलेगी: बाएँ समूह की हर संख्या को 4 से भाग देने पर शेष 3 बचता है (11, 15, 19, 23) और दाएँ समूह की हर संख्या पर शेष 1 बचता है (13, 17, 21, 25)। इसलिए किसी दाईं संख्या और किसी बाईं संख्या का अंतर सदैव 2, 6, 10 … होगा — वह ठीक 4 कभी नहीं हो सकता।
अन्य सही उत्तर: 11 के साथ 13 और 19 के साथ 21 बदलने पर भी 72 और 72 मिलते हैं। कोई भी दो चालें चलेंगी जिनसे बाएँ समूह को ठीक 4 मिल जाए।
प्र5.
(घ) दोनों समूहों के बीच संख्याओं के युग्मों को इस प्रकार बदलिए कि उनका योगफल समान हो जाए। कम से कम चालों का उपयोग कीजिए। बायाँ समूह: 77, 78, 79, 80 (योगफल 314)। दायाँ समूह: 81, 82, 83, 84 (योगफल 330)।
उत्तर
यहाँ भी दो चालें चाहिए — 77 और 81 को बदलिए, तथा 78 और 82 को बदलिए।
कुल योग: 314 + 330 = 644। प्रत्येक समूह में 644 ÷ 2 = 322 होना चाहिए।
बाएँ समूह को 322 − 314 = 8 और चाहिए।
एक चाल के लिए भीतर आने वाली संख्या बाहर जाने वाली से 8 अधिक होनी चाहिए। पर सबसे बड़ा संभव अंतर 84 − 77 = 7 है। अत: एक चाल संभव नहीं।
77 और 78 बाहर भेजिए (योग 155) तथा 81 और 82 भीतर लाइए (योग 163)। लाभ 163 − 155 = 8 हुआ।