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कक्षा ५ गणित अध्याय 6 आइए हल करें के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
माला एक पुस्तक प्रदर्शनी में गई और उसने 18 पुस्तकें क्रय कीं। दुकानदार ₹150 में 3 पुस्तकों का विक्रय कर रही थी। पुस्तकें क्रय करने के बाद भी उसके पास ₹20 बचे। प्रारंभ में माला के पास कितनी धनराशि थी?
उत्तर

प्रारंभ में माला के पास ₹920 थे।

पुस्तकें 3-3 के समूह में बिक रही हैं, अत: पहले समूहों की संख्या निकालिए।

चरण 1. समूहों की संख्या = 18 ÷ 3 = 6 समूह
चरण 2. एक समूह का मूल्य = ₹150
चरण 3. 6 समूहों का मूल्य = 6 × 150
   6 × 15 = 90, अत: 6 × 150 = ₹900
चरण 4. उसके पास ₹20 और बचे थे।
चरण 5. प्रारंभ की धनराशि = 900 + 20 = ₹920
अंत में ₹20 क्यों जोड़ते हैं: प्रारंभ की धनराशि दो जगह गई — कुछ पुस्तकों पर खर्च हुई और कुछ बटुए में रह गई। दोनों जोड़ने पर वही राशि मिलती है जिससे उसने शुरुआत की थी।
स्वयं जाँचिए: ₹920 से शुरू कीजिए। पुस्तकों के ₹900 घटाइए। ₹20 बचते हैं ✓ और 3-3 की 6 गड्डियाँ 18 पुस्तकें बनाती हैं ✓
प्र2.
एक गाँव का खेल क्लब महिला फुटबॉल प्रतियोगिता का आयोजन करता है। उन्होंने 57 टिकटों को ₹115 की दर से विक्रय किया। इस खेल प्रतियोगिता में 3 दल सम्मिलित हुए और प्रत्येक दल को ₹1,599 का प्रवेश शुल्क देना पड़ा। (क) क्लब ने टिकट विक्रय और दल प्रवेश शुल्क से कुल कितनी धनराशि एकत्र की?
उत्तर

क्लब ने कुल ₹11,352 एकत्र किए।

धन दो स्रोतों से आया है, अत: दोनों अलग निकालकर जोड़िए।

टिकटों से धनराशि
चरण 1. 57 टिकट × ₹115 प्रति टिकट
चरण 2. 57 × 100 = 5,700
चरण 3. 57 × 15 = 855
चरण 4. 5,700 + 855 = ₹6,555
प्रवेश शुल्क से धनराशि
चरण 1. 3 दल × ₹1,599 प्रति दल
चरण 2. निकटतम गुणज लीजिए: 3 × 1,600 = 4,800
चरण 3. यह ₹3 अधिक है (हर दल पर एक रुपया)।
चरण 4. 4,800 − 3 = ₹4,797
कुल एकत्र धनराशि
₹6,555 + ₹4,797 = ₹11,352
टिकटों को दूसरे ढंग से जाँचिए: 57 × 115 = 115 × 50 + 115 × 7 = 5,750 + 805 = ₹6,555 ✓
प्र3.
(ख) दलों ने फुटबॉल मैदान के किराए के लिए कुल ₹1,750 का और भोजन व जल के लिए ₹1,129 का भुगतान किया। मैदान का किराया और भोजन-पानी में कुल कितना खर्च हुआ?
उत्तर

कुल खर्च ₹2,879 हुआ।

चरण 1. मैदान का किराया = ₹1,750
चरण 2. भोजन और पानी = ₹1,129
चरण 3. इकाई जोड़िए: 0 + 9 = 9
चरण 4. दहाई जोड़िए: 50 + 20 = 70
चरण 5. सैकड़े जोड़िए: 700 + 100 = 800
चरण 6. हज़ार जोड़िए: 1,000 + 1,000 = 2,000
चरण 7. कुल = 2,000 + 800 + 70 + 9 = ₹2,879
क्या आप जानते हैं? आने वाले धन और जाने वाले धन की तुलना करके ही कोई क्लब या दुकान जानती है कि उसका काम ठीक चल रहा है। यहाँ क्लब ने ₹11,352 एकत्र किए और ₹2,879 खर्च किए, अत: गाँव के लिए 11,352 − 2,879 = ₹8,473 बचे।
प्र4.
अनन्या नगर के सार्वजनिक मैदान में गणतंत्र दिवस समारोह देख रही है। उसके आगे 12 पंक्तियों में और पीछे 17 पंक्तियों में विद्यार्थी बैठे हैं। उसके दाईं ओर 18 विद्यार्थी और बाईं ओर 22 विद्यार्थी बैठे हैं। (क) विद्यार्थियों की कुल कितनी पंक्तियाँ हैं? (ख) अनन्या की पंक्ति में कितने विद्यार्थी बैठे हैं? (ग) मैदान में विद्यार्थियों की कुल कितनी संख्या है?
उत्तर

(क) 30 पंक्तियाँ (ख) 41 विद्यार्थी (ग) 1,230 विद्यार्थी।

ध्यान रखने की मुख्य बात यह है कि अनन्या को भी गिनना है — वह भी तो किसी पंक्ति में बैठी है।

(क) कुल पंक्तियाँ
चरण 1. आगे की पंक्तियाँ = 12
चरण 2. पीछे की पंक्तियाँ = 17
चरण 3. अनन्या की अपनी पंक्ति = 1
चरण 4. कुल = 12 + 17 + 1 = 30 पंक्तियाँ
(ख) अनन्या की पंक्ति में विद्यार्थी
चरण 1. दाईं ओर = 18
चरण 2. बाईं ओर = 22
चरण 3. स्वयं अनन्या = 1
चरण 4. कुल = 18 + 22 + 1 = 41 विद्यार्थी
(ग) मैदान में कुल विद्यार्थी
चरण 1. 30 पंक्तियाँ, हर एक में 41 विद्यार्थी
चरण 2. 30 × 41 = 30 × 40 + 30 × 1
चरण 3. 1,200 + 30 = 1,230 विद्यार्थी
आगे 12 पंक्तियाँ (12 पंक्तियाँ) दाईं ओर 18 बाईं ओर 22 पीछे 17 पंक्तियाँ लाल बिंदु अनन्या है। उसकी अपनी पंक्ति और अपनी सीट भी गिननी है।
12 पंक्तियाँ + अनन्या की पंक्ति + 17 पंक्तियाँ = 30 पंक्तियाँ। 18 + अनन्या + 22 = उसकी पंक्ति में 41.
दो बार 1 क्यों जोड़ा: "उसके आगे" में वह स्वयं नहीं आती। "उसके पीछे" में भी नहीं। अत: उसकी अपनी पंक्ति अलग पंक्ति है। इसी तरह दाईं और बाईं ओर के विद्यार्थियों में वह शामिल नहीं है, इसलिए वह अपनी पंक्ति में एक अतिरिक्त व्यक्ति है।
स्वयं जाँचिए: 30 × 41, 30 × 40 = 1,200 से थोड़ा अधिक होना चाहिए। हमारा उत्तर 1,230, उससे 30 अधिक है — ठीक हर पंक्ति में एक अतिरिक्त विद्यार्थी ✓
प्र5.
गुणा कीजिए। (क) 67 × 78 (ख) 34 × 56 (ग) 45 × 263 (घ) 86 × 542 (ङ) 432 × 107 (च) 310 × 120
उत्तर

छहों गुणनफल, हर एक छोटी विधि के साथ।

(क) 67 × 78 = 5,226
चरण 1. 67 × 80 = 5,360
चरण 2. यह दो 67 अधिक है: 2 × 67 = 134
चरण 3. 5,360 − 134 = 5,226
(ख) 34 × 56 = 1,904
चरण 1. 34 × 50 = 1,700
चरण 2. 34 × 6 = 204
चरण 3. 1,700 + 204 = 1,904
(ग) 45 × 263 = 11,835
चरण 1. 263 × 40 = 10,520
चरण 2. 263 × 5 = 1,315
चरण 3. 10,520 + 1,315 = 11,835
(घ) 86 × 542 = 46,612
चरण 1. 542 × 80 = 43,360
चरण 2. 542 × 6 = 3,252
चरण 3. 43,360 + 3,252 = 46,612
(ङ) 432 × 107 = 46,224
चरण 1. 432 × 100 = 43,200
चरण 2. 432 × 7 = 3,024
चरण 3. 43,200 + 3,024 = 46,224
(च) 310 × 120 = 37,200
चरण 1. शून्य अलग रखिए: 31 × 12 = 372
चरण 2. 310 का एक और 120 का एक → दो शून्य
चरण 3. उत्तर = 37,200
(ग) आकलन से जाँचिए: 45 लगभग 50 और 263 लगभग 260, अत: उत्तर 50 × 260 = 13,000 के आसपास होना चाहिए। हमारा 11,835 उसी क्षेत्र में है ✓
प्र6.
यदि 67 × 67 = 4,489 है तो बिना गुणा किए 67 × 68 ज्ञात कीजिए।
उत्तर

67 × 68 = 4,556.

  1. दोनों प्रश्नों की तुलना कीजिए। 67 × 67 में 67 के 67 समूह हैं। 67 × 68 में 67 के 68 समूह हैं।
  2. अत: एक समूह अधिक है। उस समूह में 67 हैं।
  3. जोड़ दीजिए। 4,489 + 67 = 4,556।
67 × 68 = 67 × 67 + 67
= 4,489 + 67
= 4,556
चाहें तो जाँच लीजिए: 67 × 68 = 67 × 70 − 67 × 2 = 4,690 − 134 = 4,556 ✓
प्र7.
यदि 99 × 100 = 9,900 है तो बिना गुणा किए 99 × 99 ज्ञात कीजिए।
उत्तर

99 × 99 = 9,801.

  1. दोनों प्रश्नों की तुलना कीजिए। 99 × 100 में 99 के 100 समूह हैं। 99 × 99 में केवल 99 समूह हैं।
  2. अत: एक समूह कम है। उस समूह में 99 हैं।
  3. घटा दीजिए। 9,900 − 99 = 9,801।
99 × 99 = 99 × 100 − 99
= 9,900 − 99
= 9,801
यह फिर से निकटतम गुणज वाला विचार क्यों है: पूरा अध्याय बार-बार इसी पर लौटता है। सरल संख्या तक छलाँग लगाइए, फिर जितने समूह जोड़े थे उतने ही वापस उतार लीजिए। यहाँ सरल संख्या 100 थी और वापसी 99 के एक समूह की थी।
यह कीजिए: इसी विचार से 999 × 1,000 = 9,99,000 से 999 × 999 निकालिए। एक 999 घटाने पर 9,98,001 मिलता है।
क्या यह उपयोगी रहा?