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कक्षा ५ गणित अध्याय 6 गुणन प्रतिरूप के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.
ध्यान दीजिए कि निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में गुणक, गुण्य और गुणनफल किस प्रकार बदल रहे हैं। नए गुणनफल का मूल गुणनफल से क्या संबंध है? (क) 16 × 44 = 704; (1) 8 × 88 = 704; (2) 8 × 22 = 176; (3) 16 × 22 = ___; (4) 32 × 44 = ___
उत्तर

(3) 16 × 22 = 352 और (4) 32 × 44 = 1,408.

16 × 44 = 704 से आरंभ कीजिए और देखिए हर संख्या के साथ क्या हुआ।

प्रश्नक्या बदलागुणनफल पर प्रभावउत्तर
16 × 44 = 704मूल—704
(1) 8 × 8816 आधा, 44 दोगुनाकोई बदलाव नहीं704
(2) 8 × 22दोनों आधे704 का चौथाई176
(3) 16 × 22केवल 44 आधा704 का आधा352
(4) 32 × 44केवल 16 दोगुना704 का दोगुना1,408
(3) 16 × 22
चरण 1. 22, 44 का आधा है।
चरण 2. अत: गुणनफल 704 का आधा होगा।
चरण 3. 704 ÷ 2 = 352

(4) 32 × 44
चरण 1. 32, 16 का दोगुना है।
चरण 2. अत: गुणनफल 704 का दोगुना होगा।
चरण 3. 704 × 2 = 1,408
याद रखने योग्य नियम: एक संख्या बदलिए, गुणनफल भी उसी तरह बदल जाएगा। एक आधी कीजिए तो गुणनफल आधा। एक दोगुनी कीजिए तो दोगुना। दोनों आधी कीजिए तो गुणनफल चौथाई, क्योंकि वह दो बार आधा हुआ।
(3) सीधे जाँचिए: 16 × 22 = 16 × 20 + 16 × 2 = 320 + 32 = 352 ✓
प्र2.
(ख) 12 × 32 = 384; (1) 6 × 16 = ___; (2) 24 × 16 = ___; (3) 24 × 64 = ___; (4) 12 × 16 = ___
उत्तर

(1) 96 (2) 384 (3) 1,536 (4) 192

प्रश्नक्या बदला384 पर प्रभावउत्तर
12 × 32 = 384मूल—384
(1) 6 × 16दोनों आधेचौथाई96
(2) 24 × 1612 दोगुना, 32 आधाकोई बदलाव नहीं384
(3) 24 × 64दोनों दोगुनेचार गुना1,536
(4) 12 × 16केवल 32 आधाआधा192
(1) 384 ÷ 2 = 192, फिर 192 ÷ 2 = 96
(3) 384 × 2 = 768, फिर 768 × 2 = 1,536
(4) 384 ÷ 2 = 192
(3) सीधे जाँचिए: 24 × 64 = 24 × 60 + 24 × 4 = 1,440 + 96 = 1,536 ✓
दोनों दोगुनी करने पर चार गुना क्यों: पहली बार दोगुना करने पर वह दुगना होता है। दूसरी बार दोगुना करने पर वह फिर दुगना होता है। दो का दो गुना चार गुना होता है।
प्र3.
दिए गए प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और पूरा कीजिए: 1 × 1 = 1; 11 × 11 = 121; 111 × 111 = 12,321; 1111 × 1111 = ___
उत्तर

1111 × 1111 = 12,34,321.

  1. अब तक के उत्तर देखिए। 1, फिर 121, फिर 12321. अंक ऊपर चढ़ते हैं और फिर नीचे उतरते हैं।
  2. इकाइयाँ गिनिए। एक 1 से चोटी 1 है। दो 1 से चोटी 2. तीन 1 से चोटी 3.
  3. अत: चार 1 से चोटी 4 होगी। 1, 2, 3, 4 तक चढ़िए और 3, 2, 1 उतर आइए।
  4. उत्तर 1234321 है, जो अल्पविराम के साथ 12,34,321 लिखा जाता है।
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12,321
1111 × 1111 = 12,34,321
(और 11111 × 11111 = 12,34,54,321)
पहाड़ जैसा आकार क्यों बनता है: 1111 को 1111 से गुणा करने पर आप 1111 को चार बार खिसकाकर जोड़ते हैं। बीच के स्तंभ में चार 1 एक साथ आते हैं और 4 देते हैं। किनारों की ओर कम 1 मिलते हैं, इसलिए 3, 2 और 1 बनते हैं।
प्र4.
अवलोकन कीजिए और पूरा कीजिए: 11 × 12 = 132; 11 × 34 = 374; 11 × 56 = 616; 11 × 78 = 858; 11 × 54 = ___; 11 × 82 = ___
उत्तर

11 × 54 = 594 और 11 × 82 = 902.

पुस्तक में प्रतिरूप के पास ही तरकीब दी है: 11 × 12 में सैकड़े का अंक 1 × 1, दहाई का अंक 1 + 2, और इकाई का अंक 1 × 2 है।

  1. 11 × 54. 54 को 5 और 4 में तोड़िए। लिखिए 5, फिर 5 + 4 = 9, फिर 4. यह 594 देता है।
  2. 11 × 82. 82 को 8 और 2 में तोड़िए। लिखिए 8, फिर 8 + 2 = 10 — यह 9 से बड़ा है, अत: 0 रखिए और 1 हासिल 8 में जोड़कर 9 बनाइए। फिर 2 लिखिए। यह 902 देता है।
दोनों को लंबे ढंग से जाँचिए
11 × 54 = 10 × 54 + 54 = 540 + 54 = 594 ✓
11 × 82 = 10 × 82 + 82 = 820 + 82 = 902 ✓
बीच का अंक योग क्यों होता है: 11 × 54 वास्तव में 54 + 540 है। 54 को 540 में जोड़ने पर 5 और 4 एक ही दहाई के स्तंभ में आ जाते हैं, इसलिए वे जुड़ जाते हैं। 5 + 4 = 9 वहीं से आता है।
82 में सावधानी: छोटी तरकीब सीधे तभी चलती है जब दोनों अंकों का योग 9 या उससे कम हो। योग 10 या अधिक होने पर हासिल याद रखिए, ठीक जैसे 11 × 82 = 902 में हुआ।
प्र5.
अवलोकन कीजिए और पूरा कीजिए: 5 × 5 = 25; 15 × 15 = 225; 25 × 25 = 625; 35 × 35 = 1,225; 45 × 45 = ___; 55 × 55 = ___
उत्तर

45 × 45 = 2,025 और 55 × 55 = 3,025.

पुस्तक तरकीब दिखाती है: हर उत्तर 25 पर समाप्त होता है, और आगे का भाग दहाई के अंक से बनता है।

  1. दहाई का अंक लीजिए। 45 के लिए वह 4 है। 55 के लिए 5.
  2. उसे अगली संख्या से गुणा कीजिए। 4 × 5 = 20. 5 × 6 = 30.
  3. उसके बाद 25 लिख दीजिए। 20 फिर 25 से 2,025. 30 फिर 25 से 3,025.
प्रश्नआगे का भागअंतउत्तर
25 × 252 × 3 = 625625
35 × 353 × 4 = 12251,225
45 × 454 × 5 = 20252,025
55 × 555 × 6 = 30253,025
45 × 45 लंबे ढंग से जाँचिए
चरण 1. 45 × 40 = 1,800
चरण 2. 45 × 5 = 225
चरण 3. 1,800 + 225 = 2,025 ✓
यह कीजिए: तरकीब 65 × 65 पर आज़माइए। आगे का भाग 6 × 7 = 42, फिर 25. अत: 65 × 65 = 4,225. लंबे ढंग से जाँचकर देखिए।
प्र6.
अवलोकन कीजिए और पूरा कीजिए: 1 × 9 + 1 = 10; 12 × 9 + 2 = 110; 123 × 9 + 3 = 1,110; 1,234 × 9 + 4 = ___
उत्तर

1,234 × 9 + 4 = 11,110.

  1. पहले गुणा कीजिए। 1,234 × 9. निकटतम गुणज लीजिए: 1,234 × 10 = 12,340, फिर एक 1,234 घटाइए।
  2. 12,340 − 1,234 = 11,106.
  3. अब 4 जोड़िए। 11,106 + 4 = 11,110.
1 × 9 + 1 = 10
12 × 9 + 2 = 110
123 × 9 + 3 = 1,110
1,234 × 9 + 4 = 11,110
(और 12,345 × 9 + 5 = 1,11,110)
उत्तरों का प्रतिरूप देखिए: 10, फिर 110, फिर 1110, फिर 11110. हर उत्तर के आगे एक 1 और जुड़ता है और वह सदा 0 पर समाप्त होता है। अत: उत्तर सीधे लिखा भी जा सकता था — पर गुणा करके देखने से सिद्ध हो जाता है कि प्रतिरूप सचमुच है, केवल तुक्का नहीं।
प्र7.
यहाँ कुछ संख्याएँ दी गई हैं (8, 35, 75 / 32, 62, 13 / 66, 11, 14). किसी पंक्ति अथवा स्तंभ में कोई भी दो आसन्न संख्याएँ संख्या युग्म होती हैं। क्या आप उन युग्मों की पहचान कर सकते हैं जिनका गुणनफल सबसे छोटा है और जिसका गुणनफल सबसे बड़ा है? क्या आपको प्रत्येक गुणनफल ज्ञात करना होगा अथवा आप संख्याओं को देखकर ही ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर

सबसे छोटा गुणनफल: 11 × 14 = 154. सबसे बड़ा गुणनफल: 35 × 75 = 2,625. नहीं, हर गुणनफल निकालने की आवश्यकता नहीं — देखकर ही पहचाना जा सकता है।

पहले देखिए कि पंक्ति या स्तंभ में कौन-सी संख्याएँ एक-दूसरे से सटी हैं।

युग्मगुणनफलयुग्मगुणनफल
8 और 352808 और 32256
35 और 752,62532 और 662,112
32 और 621,98435 और 622,170
62 और 1380662 और 11682
66 और 1172675 और 13975
11 और 1415413 और 14182

देखकर कैसे पहचानें:

  1. सबसे छोटे गुणनफल के लिए दो छोटी संख्याएँ खोजिए जो सटी हों। जाल की सबसे छोटी संख्याएँ 8, 11, 13 और 14 हैं। इनमें 11 और 14 सटे हैं। अत: उनका गुणनफल 154 ही सबसे छोटा होगा।
  2. सबसे बड़े गुणनफल के लिए दो बड़ी संख्याएँ खोजिए जो सटी हों। सबसे बड़ी संख्याएँ 75, 66, 62 और 35 हैं। इनमें 35 और 75 सटे हैं तथा 32 और 66 भी। 35 × 75 में जाल की सबसे बड़ी संख्या है, इसलिए वही जीतता है।
  3. फिर केवल कुछ पास वाले युग्म जाँच लीजिए। 35 × 62 = 2,170 और 32 × 66 = 2,112 — दोनों 2,625 से छोटे हैं ✓
8 सबसे छोटा गुणनफल क्यों नहीं देता: 8 जाल की सबसे छोटी संख्या है, पर उसके पड़ोसी 35 और 32 हैं, जो दोनों बड़े हैं। 8 × 32 = 256, जो अब भी 154 से बड़ा है। महत्वपूर्ण युग्म है, अकेली छोटी संख्या नहीं।
स्वयं जाँचिए: 11 × 14 = 154. और 35 × 75 : 35 × 70 = 2,450 तथा 35 × 5 = 175. 2,450 + 175 = 2,625 ✓
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