कक्षा ५ गणित अध्याय 6 दोगुना करना और आधा करना के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
मक्खन की थैलियों को निम्नलिखित प्रकारों में व्यवस्थित किया गया है। (क) 3 × 18 : एक को दोगुना और दूसरे को आधा करके 6 × 9 = 54. चर्चा कीजिए कि ये समान क्यों हैं?
उत्तर
ये समान इसलिए हैं क्योंकि न कोई पैकेट जोड़ा गया, न हटाया गया — गुच्छे को केवल काटकर दुबारा जमाया गया है। 3 × 18 = 6 × 9 = 54.
पहला गुच्छा देखिए। वह 3 पैकेट गहरा और 18 पैकेट लंबा है।
उसे बीच से काटिए। अब दो गुच्छे बने, हर एक 3 गहरा और 9 लंबा।
एक टुकड़े को दूसरे पर रखिए। नया गुच्छा 6 गहरा और 9 लंबा है।
गिनिए। 6 × 9 = 54, जो 3 × 18 = 54 के बराबर है।
गुच्छे को बीच से काटकर जमा दीजिए। आकार बदलता है, पैकेटों की संख्या नहीं।
3 × 18 = 54 3 को दोगुना → 6, 18 को आधा → 9 6 × 9 = 54 ✓
ऐसा क्यों होता है: आपने एक संख्या को दोगुना और दूसरी को आधा किया। पंक्तियाँ दुगुनी हो गईं, पर हर पंक्ति आधी ही लंबी रह गई। बढ़ा हुआ और घटा हुआ ठीक-ठीक एक-दूसरे को काट देते हैं।
प्र2.
(ख) 22 × 5 : ___ × ___ = ____ भरिए।
उत्तर
11 × 10 = 110.
ऊँचा गुच्छा देखिए। वह 22 पैकेट ऊँचा और 5 पैकेट चौड़ा है।
उसे बीच से आड़ा काटिए। हर आधा 11 ऊँचा और 5 चौड़ा है।
दोनों आधे बगल-बगल रखिए। अब गुच्छा 11 ऊँचा और 10 चौड़ा है।
गुणा कीजिए। 11 × 10 = 110 पैकेट।
22 × 5 चरण 1. 22 का आधा = 11 चरण 2. 5 का दोगुना = 10 चरण 3. 11 × 10 = 110 पैकेट
स्वयं जाँचिए: दूसरे ढंग से गिनिए। बीस 5 = 100 और दो 5 और = 10, अत: 100 + 10 = 110 ✓
प्र3.
(ग) निम्नलिखित प्रश्नों को पिछले प्रश्नों की तरह हल कीजिए (आधा और दोगुना वाले बक्से भरिए)। 14 × 3 = , 38 × 5 = , 16 × 4 = , 35 × 14 =
उत्तर
पहली संख्या का आधा और दूसरी का दोगुना लीजिए, फिर गुणा कीजिए।
प्रश्न
आधा
दोगुना
नया प्रश्न
उत्तर
14 × 3
7
6
7 × 6
42
38 × 5
19
10
19 × 10
190
16 × 4
8
8
8 × 8
64
35 × 14
7 (14 का आधा)
70 (35 का दोगुना)
70 × 7
490
35 × 14 चरण 1. इस बार दूसरी संख्या का आधा लीजिए: 14 का आधा = 7 चरण 2. पहली को दोगुना कीजिए: 35 + 35 = 70 चरण 3. 70 × 7 = 490
किसका आधा लें: सम संख्या का आधा लीजिए। 35 × 14 में केवल 14 सम है, अत: 14 का ही आधा लेना होगा। 16 × 4 में दोनों सम हैं, इसलिए किसी का भी ले सकते हैं।
जब हम 5 और 25 जैसी संख्याओं से गुणा करते हैं तो आधी और दोगुनी करने की विधि अच्छी तरह से कार्य करती है। चर्चा कीजिए कि ऐसा क्यों होता है?
उत्तर
क्योंकि 5 को दोगुना करने पर 10 मिलता है और 25 को दो बार दोगुना करने पर 100 — और 10 या 100 से गुणा करना गणित का सबसे आसान काम है।
5 से शुरू कीजिए। एक बार दोगुना करने पर 10 मिलता है। 10 से गुणा करने पर बस अंत में एक शून्य लग जाता है।
25 से शुरू कीजिए। एक बार दोगुना करने पर 50, दुबारा दोगुना करने पर 100. 100 से गुणा करने पर अंत में दो शून्य लगते हैं।
हर बार जब एक संख्या दोगुनी करें, दूसरी आधी कीजिए। उत्तर नहीं बदलता, पर काम बहुत सरल हो जाता है।
5 वाला उदाहरण 18 × 5 → 9 × 10 = 90
25 वाला उदाहरण 16 × 25 → 8 × 50 = 4 × 100 = 400
10 और 100 इतने मित्रवत क्यों हैं: हमारी संख्याएँ दहाइयों में बनी हैं। 10 से गुणा करने पर हर अंक बस एक घर बाईं ओर खिसक जाता है। न कुछ हासिल रखना पड़ता है, न कुछ याद।
कक्षा-चर्चा के लिए नमूना उत्तर: हमने कहा कि 5, 10 का आधा है और 25, 100 का चौथाई। इसलिए जब भी 5 या 25 आए, हम दोगुना करते हुए 10 या 100 तक चढ़ सकते हैं — बस दूसरी संख्या को उतनी ही बार आधा करना होगा।
प्र5.
(घ) गुणक अथवा गुणनीय में से किसी एक को आधा और दूसरे को दोगुना करके गुणनफल ज्ञात कीजिए। (1) 5 × 18 (2) 50 × 28 (3) 15 × 22 (4) 25 × 12 (5) 12 × 45 (6) 16 × 45
उत्तर
छहों, हर एक केवल एक सरल चरण में।
प्रश्न
आधा
दोगुना
बन जाता है
उत्तर
(1) 5 × 18
18 → 9
5 → 10
10 × 9
90
(2) 50 × 28
28 → 14
50 → 100
100 × 14
1,400
(3) 15 × 22
22 → 11
15 → 30
30 × 11
330
(4) 25 × 12
12 → 6
25 → 50
50 × 6
300
(5) 12 × 45
12 → 6
45 → 90
6 × 90
540
(6) 16 × 45
16 → 8
45 → 90
8 × 90
720
(2) 50 × 28 चरण 1. 28 का आधा = 14 चरण 2. 50 का दोगुना = 100 चरण 3. 100 × 14 = 1,400
(4) 25 × 12 चरण 1. 12 का आधा = 6 चरण 2. 25 का दोगुना = 50 चरण 3. 50 × 6 = 300 (फिर से दोगुना कर सकते हैं: 25 × 12 = 100 × 3 = 300 ✓)
एक को दूसरे रास्ते से जाँचिए: 16 × 45 में दस 45 = 450 और छह 45 = 270. 450 + 270 = 720 ✓
प्र6.
(ङ) गुणन समस्याओं के 5 ऐसे उदाहरण दीजिए जहाँ पर आधा करने और दोगुना करने से सरलता से गुणनफल ज्ञात करने में सहायता होगी। गुणनफल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
नमूना उत्तर: ऐसे प्रश्न चुनिए जिनमें एक संख्या सम हो और दूसरी 5, 25 या 50 हो — यही 10 या 100 तक चढ़ती हैं।
मेरा उदाहरण
आधा और दोगुना
बन जाता है
गुणनफल
5 × 24
24 → 12, 5 → 10
10 × 12
120
25 × 16
16 → 8, 25 → 50; फिर 8 → 4, 50 → 100
100 × 4
400
15 × 14
14 → 7, 15 → 30
30 × 7
210
5 × 36
36 → 18, 5 → 10
10 × 18
180
50 × 18
18 → 9, 50 → 100
100 × 9
900
अच्छा उदाहरण कैसा होता है: एक संख्या सम होनी चाहिए, नहीं तो आधा करना कठिन होगा। दूसरी 5, 15, 25 या 50 हो, क्योंकि उन्हें दोगुना करने पर 10, 30, 50 या 100 मिलता है।
यह कीजिए: 7 × 9 एक खराब उदाहरण है, क्योंकि न कोई संख्या सम है, न 10 या 100 के पास। आधा-दोगुना करने से काम और उलझ जाएगा। संख्याओं के अनुसार सही औज़ार चुनना भी कौशल का हिस्सा है।