कक्षा ५ गणित अध्याय 9 आइए हल करें के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.

1. एक थिएटर कंपनी एक प्रदर्शन के समय 45 व्यक्तियों को बैठने की व्यवस्था कर सकती है। (क) एक कठपुतली के खेल की प्रस्तुति के लिए कुल 475 व्यक्तियों ने टिकट क्रय किए। टिकट क्रय करने वाले सभी व्यक्तियों को प्रस्तुति दिखाने के लिए कितनी बार खेल की प्रस्तुति करने की आवश्यकता होगी? (ख) एक दिन में दो बार प्रस्तुतियाँ होती हैं। सभी व्यक्तियों को प्रस्तुति दिखाने के लिए कितने दिनों की आवश्यकता होगी?

उत्तर

(क) 11 प्रस्तुतियाँ। (ख) 6 दिन।

(क) कितनी प्रस्तुतियाँ? हर प्रस्तुति में 45 व्यक्ति बैठते हैं और 475 व्यक्तियों के पास टिकट हैं।

चरण 1: 475 ÷ 45
चरण 2: 45 × 10 = 450, यह आ जाता है
चरण 3: 475 − 450 = 25 व्यक्ति अभी बिना सीट के
चरण 4: उन 25 के लिए एक और प्रस्तुति चाहिए

प्रस्तुतियाँ = 10 पूरी + 1 और = 11 प्रस्तुतियाँ

(ख) कितने दिन? एक दिन में 2 प्रस्तुतियाँ होती हैं और 11 प्रस्तुतियाँ चाहिए।

चरण 1: 11 ÷ 2
चरण 2: 2 × 5 = 10, और 11 − 10 = 1
चरण 3: 5 दिनों में 10 प्रस्तुतियाँ हो जाएँगी, 1 प्रस्तुति शेष रहेगी
चरण 4: उस अंतिम प्रस्तुति के लिए एक और दिन चाहिए

दिन = 5 + 1 = 6 दिन

दो बार ऊपर की ओर क्यों गिनते हैं: साढ़े दस प्रस्तुतियाँ नहीं हो सकतीं, और आधे दिन का उपयोग नहीं हो सकता। जब भी व्यक्ति या कार्यक्रम बच जाएँ, एक पूरी प्रस्तुति और एक पूरा दिन और चाहिए।

दूसरी विधि से जाँच: 11 प्रस्तुतियाँ × 45 सीटें = 495 सीटें, 475 व्यक्तियों के लिए पर्याप्त ✓ और 6 दिन × 2 प्रस्तुतियाँ = 12 प्रस्तुतियाँ, 11 के लिए पर्याप्त ✓

प्र2.

2. नैना ने अपने जन्मदिन पर 23 मित्रों के लिए 5 किलोग्राम आइसक्रीम क्रय की। सभी को समान मात्रा में आइसक्रीम देने के पश्चात 400 ग्राम आइसक्रीम शेष रह जाती है। उसके प्रत्येक मित्र ने कितनी आइसक्रीम खाई?

उत्तर

प्रत्येक मित्र ने 200 ग्राम आइसक्रीम खाई।

सावधान रहिए — आइसक्रीम किलोग्राम में है और शेष ग्राम में। पहले सब कुछ ग्राम में बदलिए।

चरण 1 — मात्रक बदलिए:
1 किग्रा = 1000 ग्राम
5 किग्रा = 5 × 1000 = 5000 ग्राम

चरण 2 — जो बचा उसे घटाइए:
5000 ग्राम − 400 ग्राम = 4600 ग्राम खाई गई

चरण 3 — 23 मित्रों में बाँटिए:
4600 ÷ 23
23 × 200 = 4600
अत: प्रत्येक मित्र ने 200 ग्राम खाई

पहले घटाते क्यों हैं: वह 400 ग्राम किसी ने खाई ही नहीं। केवल 4,600 ग्राम बाँटी गई थी, अत: उसी को भाग देना चाहिए।

दूसरी विधि से जाँच: 23 मित्र × 200 ग्राम = 4,600 ग्राम, और 4,600 ग्राम + 400 ग्राम शेष = 5,000 ग्राम = 5 किग्रा ✓
उत्तर: प्रत्येक ने 200 ग्राम।

प्र3.

3. मेघा ने 4 दिवसीय सामूहिक यात्रा के लिए रागी-जई बिस्कुट के 15 पैकेट बाँधे। प्रत्येक पैकेट में 8 बिस्कुट हैं। समूह में कुल 6 व्यक्ति हैं। यदि बिस्कुट को सभी के बीच समान रूप से वितरित किया जाए तो प्रत्येक व्यक्ति को प्रतिदिन कितने बिस्कुट मिलेंगे?

उत्तर

प्रत्येक व्यक्ति को प्रतिदिन 5 बिस्कुट मिलेंगे।

पहले दो बातें ज्ञात करनी हैं — कुल कितने बिस्कुट हैं, और कितने हिस्से बनाने हैं।

चरण 1 — कुल बिस्कुट:
15 पैकेट × 8 बिस्कुट = 120 बिस्कुट

चरण 2 — कितने हिस्से?
6 व्यक्ति × 4 दिन = 24 हिस्से
(एक हिस्सा यानी एक व्यक्ति का एक दिन का भाग)

चरण 3 — भाग दीजिए:
120 ÷ 24 = 5 बिस्कुट

वही उत्तर दूसरे ढंग से, एक-एक चरण में:

120 बिस्कुट 6 व्यक्तियों में बाँटिए: 120 ÷ 6 = पूरी यात्रा के लिए प्रति व्यक्ति 20 बिस्कुट।
उन 20 को 4 दिनों में फैलाइए: 20 ÷ 4 = प्रतिदिन 5 बिस्कुट।

दूसरी विधि से जाँच: 5 बिस्कुट × 6 व्यक्ति = एक दिन में 30 बिस्कुट। 4 दिनों में 30 × 4 = 120 बिस्कुट — ठीक उतने ही जितने उसने बाँधे थे ✓
उत्तर: प्रति व्यक्ति प्रतिदिन 5 बिस्कुट।

प्र4.

4. निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए तथा यदि कोई शेषफल है तो उसकी पहचान कीजिए। प्रत्येक स्थिति में भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल की जाँच कीजिए। (क) 9,045 ÷ 5 (ख) 1,034 ÷ 4 (ग) 2,504 ÷ 7 (घ) 8,900 ÷ 15 (ङ) 9,876 ÷ 32 (च) 7,506 ÷ 24

उत्तर

भाग	विभाजन	भागफल (Q)	शेषफल (R)	जाँच: N = D × Q + R
(क)	9,045 ÷ 5	1,809	0	5 × 1809 = 9,045 ✓
(ख)	1,034 ÷ 4	258	2	4 × 258 + 2 = 1032 + 2 = 1,034 ✓
(ग)	2,504 ÷ 7	357	5	7 × 357 + 5 = 2499 + 5 = 2,504 ✓
(घ)	8,900 ÷ 15	593	5	15 × 593 + 5 = 8895 + 5 = 8,900 ✓
(ङ)	9,876 ÷ 32	308	20	32 × 308 + 20 = 9856 + 20 = 9,876 ✓
(च)	7,506 ÷ 24	312	18	24 × 312 + 18 = 7488 + 18 = 7,506 ✓

(क) 9,045 ÷ 5 — बाँटकर:

9045 = 9000 + 45
9000 ÷ 5 = 1800
45 ÷ 5 = 9
1800 + 9 = 1,809, शेषफल 0

(घ) 8,900 ÷ 15 — आंशिक भागफल:

15) 8900 ( 500 + 90 + 3
−7500 → 1400 (15 × 500)
−1350 → 50 (15 × 90)
−45 → 5 (15 × 3)

Q = 500 + 90 + 3 = 593, R = 5

(ङ) 9,876 ÷ 32 — आंशिक भागफल:

32) 9876 ( 300 + 8
−9600 → 276 (32 × 300)
−256 → 20 (32 × 8)

Q = 300 + 8 = 308, R = 20

हर शेषफल अपने भाजक से छोटा है: 0 < 5, 2 < 4, 5 < 7, 5 < 15, 20 < 32, 18 < 24। उत्तर उचित है या नहीं, यही आपकी पहली त्वरित जाँच है।

प्र5.

5. भाग क के लिए हल ज्ञात कीजिए। भाज्य, भाजक और भागफल के बीच संबंधों को देखिए तथा भाग ख और ग के उत्तर के लिए इसका उपयोग कीजिए। क. (क) 340 ÷ 34 = 10 (ख) 340 ÷ 17 = ___ (ग) 680 ÷ 17 = ___ (घ) 680 ÷ 34 = ___ (ङ) 170 ÷ 17 = ___ (च) 680 ÷ 68 = ___

उत्तर

भाग	विभाजन	उत्तर	यह ऊपर वाले से कैसे निकला
(क)	340 ÷ 34	10	पुस्तक में दिया है
(ख)	340 ÷ 17	20	17, 34 का आधा है → उत्तर दुगुना: 10 × 2
(ग)	680 ÷ 17	40	680, 340 का दुगुना है → उत्तर फिर दुगुना: 20 × 2
(घ)	680 ÷ 34	20	भाज्य दुगुना, भाजक (क) जैसा → 10 × 2
(ङ)	170 ÷ 17	10	170, 340 का आधा और 17, 34 का आधा → उत्तर वही
(च)	680 ÷ 68	10	दोनों (क) से दुगुने → उत्तर वही

जो दो संबंध यहाँ देखने हैं:

भाजक आधा हो तो भागफल दुगुना। 340 ÷ 34 = 10, अत: 340 ÷ 17 = 20। उतनी ही वस्तुएँ आधे समूहों में बाँटने पर हर समूह को दुगुना मिलेगा।
भाज्य दुगुना हो तो भागफल दुगुना। 340 ÷ 17 = 20, अत: 680 ÷ 17 = 40। दुगुनी वस्तुएँ उतने ही समूहों में बाँटने पर हर समूह को दुगुना मिलेगा।
दोनों दुगुने हों तो भागफल वही रहता है। 340 ÷ 34 = 10 और 680 ÷ 68 = 10।

गुणा करके सबकी जाँच: 17 × 20 = 340 ✓ 17 × 40 = 680 ✓ 34 × 20 = 680 ✓ 17 × 10 = 170 ✓ 68 × 10 = 680 ✓

प्र6.

ख. (क) 192 ÷ 4 = 48 (ख) 192 ÷ 8 = ___ (ग) 384 ÷ 8 = ___ (घ) 384 ÷ 4 = ___ (ङ) 86 ÷ 2 = ___

उत्तर

भाग	विभाजन	उत्तर	प्रयुक्त संबंध
(क)	192 ÷ 4	48	पुस्तक में दिया है
(ख)	192 ÷ 8	24	भाजक दुगुना हुआ (4 → 8), अत: उत्तर आधा: 48 ÷ 2
(ग)	384 ÷ 8	48	(क) से दोनों दुगुने, अत: उत्तर वही
(घ)	384 ÷ 4	96	केवल भाज्य दुगुना, अत: उत्तर दुगुना: 48 × 2
(ङ)	86 ÷ 2	43	86 = 80 + 6 बाँटिए, अत: 40 + 3 = 43

(ग) का उत्तर (क) जैसा ही क्यों है: 384 ÷ 8 में दोनों संख्याएँ 192 ÷ 4 की ठीक दुगुनी हैं। दुगुनी मिठाइयाँ दुगुने बच्चों में बाँटने पर हर बच्चे को उतना ही मिलता है।

पुस्तक के विषय में एक बात: अंग्रेज़ी संस्करण में इस भाग में 384 ÷ 8 दो बार छपा है — वहाँ (ग) और (ङ) एक ही प्रश्न हैं, दोनों का उत्तर 48। हिंदी संस्करण में यह पाँच भागों का है।
जाँच: 8 × 24 = 192 ✓ 8 × 48 = 384 ✓ 4 × 96 = 384 ✓ 2 × 43 = 86 ✓

प्र7.

ग. (क) 352 ÷ 11 = 32 (ख) 704 ÷ 22 = ___ (ग) 704 ÷ 11 = ___ (घ) 352 ÷ 22 = ___ (ङ) 1,408 ÷ 44 = ___

उत्तर

भाग	विभाजन	उत्तर	प्रयुक्त संबंध
(क)	352 ÷ 11	32	पुस्तक में दिया है
(ख)	704 ÷ 22	32	(क) से दोनों दुगुने, अत: उत्तर वही
(ग)	704 ÷ 11	64	केवल भाज्य दुगुना, अत: उत्तर दुगुना: 32 × 2
(घ)	352 ÷ 22	16	केवल भाजक दुगुना, अत: उत्तर आधा: 32 ÷ 2
(ङ)	1,408 ÷ 44	32	दोनों (क) के चार गुने, अत: उत्तर वही

(ङ) को ध्यान से देखिए। 1,408 = 352 × 4 और 44 = 11 × 4। दोनों उतने ही गुने बढ़े, अत: भागफल बिलकुल नहीं बदला।

352 ÷ 11 = 32
704 ÷ 22 = 32 (दोनों × 2)
1408 ÷ 44 = 32 (दोनों × 4)

प्रश्न 5 का बड़ा विचार: विभाजन को दोनों संख्याओं के आपसी अनुपात से मतलब है, उनके आकार से नहीं। दोनों को समान गुना बढ़ाइए तो कुछ नहीं बदलेगा। केवल एक को बढ़ाइए तो उत्तर बदल जाएगा।
जाँच: 22 × 32 = 704 ✓ 11 × 64 = 704 ✓ 22 × 16 = 352 ✓ 44 × 32 = 1,408 ✓

प्र8.

6. मुंबई में एक कंपनी प्रत्येक वर्ष मुंबई से गोवा के पंजिम तक साइकिल रैली आयोजित करती है। उनका लक्ष्य 12 दिनों में 576 किलोमीटर दूरी तय करना है। (क) प्रत्येक दिन समान दूरी तय करने के लिए उन्हें प्रतिदिन कितने किलोमीटर साइकिल चलानी चाहिए? (ख) रत्नागिरी पहुँचने के पश्चात वे 1 दिन विश्राम करते हैं। 4 दिनों में गोवा पहुँचने के लिए उन्हें प्रतिदिन साइकिल से कितनी दूरी तय करनी चाहिए? मान लीजिए कि वे प्रतिदिन समान दूरी तय करते हैं।

उत्तर

(क) प्रतिदिन 48 किमी। (ख) प्रतिदिन 58 किमी।

(क) पूरी रैली — 12 दिनों में 576 किमी।

चरण 1: एक दिन की दूरी = 576 ÷ 12
चरण 2: 576 को 480 + 96 में बाँटिए
चरण 3: 480 ÷ 12 = 40 तथा 96 ÷ 12 = 8
चरण 4: 40 + 8 = प्रतिदिन 48 किमी

(ख) अंतिम चरण, रत्नागिरी से गोवा। पुस्तक में छपे मानचित्र को पढ़िए। उसमें तीन दूरियाँ अंकित हैं:

मार्ग	मानचित्र पर दूरी
मुंबई से रत्नागिरी	344 किमी
रत्नागिरी से गोवा	232 किमी
मुंबई से गोवा (पूरी रैली)	576 किमी

चरण 1 — मानचित्र की जाँच:
344 + 232 = 576 ✓

चरण 2 — बची हुई दूरी 232 किमी, 4 दिनों में:
232 ÷ 4
232 को 200 + 32 में बाँटिए
200 ÷ 4 = 50 तथा 32 ÷ 4 = 8
50 + 8 = प्रतिदिन 58 किमी

प्रतिदिन की दूरी क्यों बढ़ जाती है: रत्नागिरी में विश्राम करने से पूरा एक दिन चला जाता है, अत: बचे हुए दिन कम हैं। उतनी ही दूरी कम दिनों में तय करने के लिए हर दिन अधिक चलाना होगा — 48 किमी के बजाय 58 किमी।

दूसरी विधि से जाँच: 12 दिन × 48 किमी = 576 किमी ✓ तथा 4 दिन × 58 किमी = 232 किमी ✓

प्र9.

7. नीचे कुछ प्रश्न दिए गए हैं जिनमें दी गई जानकारी अधूरी है अत: इनको हल करने के लिए आपको कुछ अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता हो सकती है। इस अधूरी जानकारी का पता लगाइए व इसे लिखकर उत्तर ज्ञात कीजिए। (क) एक फल विक्रेता आमों की 6 टोकरियाँ बेचता है। प्रत्येक टोकरी में 12 आम हैं। फल विक्रेता ने कुल कितने रुपए अर्जित किए? (ख) एक विद्यालय में 8 कक्षा-कक्ष हैं तथा प्रत्येक कक्षा-कक्ष में समान संख्या में मेज हैं। प्रत्येक कक्षा-कक्ष में कितनी मेज हैं? (ग) राहुल ने अपने दल (टीम) के लिए 5 क्रिकेट बल्ले (बैट) क्रय किए एवं कुल बिल राशि ₹ 3,500 है। एक बल्ले का मूल्य कितना है? (घ) एक जलपान गृह एक दिन में 125 थाली इडली परोसता है। सभी इडली की थालियों को विक्रय करने से उसे ₹ 6,025 की राशि प्राप्त होती है। प्रत्येक प्लेट में इडली की संख्या कितनी है?

उत्तर

हर भाग में पहले पूछिए — कौन-सी संख्या चाहिए जो प्रश्न में दी ही नहीं गई?

भाग	क्या लुप्त है	एक उचित मान	उस मान से उत्तर
(क)	एक आम का मूल्य	₹15 प्रति आम	₹1,080
(ख)	विद्यालय में कुल मेजों की संख्या	कुल 96 मेज	प्रति कक्षा-कक्ष 12 मेज
(ग)	कुछ भी लुप्त नहीं है	—	प्रति बल्ला ₹700
(घ)	एक इडली का मूल्य	₹10 प्रति इडली	प्रति थाली 5 इडली

(क) आम। हम आमों की संख्या तो ज्ञात कर सकते हैं, पर कितने रुपए मिले यह नहीं, क्योंकि मूल्य दिया ही नहीं है।

आम = 6 टोकरियाँ × 12 = 72 आम
लुप्त जानकारी: एक आम का मूल्य
मान लीजिए एक आम ₹15 का है
कुल आय = 72 × 15 = ₹1,080

(ख) मेज। कक्षा-कक्षों की संख्या पता है, पर बाँटने के लिए कुल मेजें नहीं।

लुप्त जानकारी: कुल मेजों की संख्या
मान लीजिए विद्यालय में 96 मेज हैं
प्रति कक्षा-कक्ष मेज = 96 ÷ 8 = 12 मेज

(ग) क्रिकेट बल्ले। यह प्रश्न पूरा है — यह ध्यान से पढ़ने की परीक्षा है।

एक बल्ले का मूल्य = 3500 ÷ 5
= ₹700
जाँच: 5 × ₹700 = ₹3,500 ✓

(घ) इडली। एक थाली का मूल्य ज्ञात हो सकता है, पर उस पर कितनी इडली हैं यह नहीं।

एक थाली का मूल्य = 6025 ÷ 125 = ₹48.20
लुप्त जानकारी: एक इडली का मूल्य

छपाई के विषय में: हिंदी संस्करण में यहाँ ₹6,025 छपा है, जबकि अंग्रेज़ी संस्करण में ₹6,250। ₹6,250 लेने पर एक थाली का मूल्य 6250 ÷ 125 = ठीक ₹50 आता है, जो कहीं अधिक स्वाभाविक है। तब यदि एक इडली ₹10 की हो तो प्रत्येक थाली में 50 ÷ 10 = 5 इडली होंगी।

संकेत: गणना आरंभ करने से पहले लिख लीजिए कि क्या दिया है और क्या पूछा है। यदि उत्तर की कोई संख्या दी गई संख्याओं से बन ही न सके, तो वही लुप्त जानकारी है।

प्र10.

8. एक पुस्तकों की अलमारी बनाने के लिए एक बढ़ई को 4 लंबे लकड़ी के तख्ते, 8 छोटे लकड़ी के तख्ते, 16 छोटी क्लिप, 4 बड़ी क्लिप और 32 पेंच चाहिए। बढ़ई के पास 264 लंबे लकड़ी के तख्ते, 306 छोटे लकड़ी के तख्ते, 2400 छोटी क्लिप, 120 बड़ी क्लिप और 2,800 पेंच का भंडार है। बढ़ई कितनी संख्या में पुस्तकों की अलमारी बना सकता है? अपने विचारों पर चर्चा कीजिए।

उत्तर

वह 30 अलमारियाँ बना सकता है।

हर सामग्री के लिए अलग-अलग निकालिए कि केवल उसी से कितनी अलमारियाँ बन सकती हैं। फिर उनमें से सबसे छोटी संख्या लीजिए, क्योंकि जो सामग्री पहले चुकेगी वही काम रोक देगी।

सामग्री	1 अलमारी के लिए	भंडार में	विभाजन	संभव अलमारियाँ
लंबे तख्ते	4	264	264 ÷ 4 = 66	66
छोटे तख्ते	8	306	306 ÷ 8 = 38, शेष 2	38
छोटी क्लिप	16	2,400	2400 ÷ 16 = 150	150
बड़ी क्लिप	4	120	120 ÷ 4 = 30	30 ← सबसे छोटी
पेंच	32	2,800	2800 ÷ 32 = 87, शेष 16	87

उत्तर: 30 अलमारियाँ, क्योंकि बड़ी क्लिप सबसे पहले चुक जाती हैं।

अपने विचार — नमूना उत्तर: बढ़ई के पास छोटी क्लिप और पेंच तो बहुत हैं, परंतु बड़ी क्लिप केवल 120 हैं और हर अलमारी उनमें से 4 खा जाती है। 120 ÷ 4 = 30, अत: 30 अलमारियों के बाद एक भी बड़ी क्लिप नहीं बचेगी। इससे कोई अंतर नहीं पड़ता कि लकड़ी और पेंच अब भी बचे हैं — बड़ी क्लिप के बिना अलमारी पूरी नहीं होती।

30 अलमारियों के बाद क्या बचेगा:

लंबे तख्ते: 264 − 30 × 4 = 264 − 120 = 144 शेष
छोटे तख्ते: 306 − 30 × 8 = 306 − 240 = 66 शेष
छोटी क्लिप: 2400 − 30 × 16 = 2400 − 480 = 1,920 शेष
बड़ी क्लिप: 120 − 30 × 4 = 0 शेष
पेंच: 2800 − 30 × 32 = 2800 − 960 = 1,840 शेष

याद रखने योग्य विचार: जब कई चीज़ें एक साथ चाहिए हों, तो सबसे छोटा उत्तर ही निर्णय करता है। यह वैसा ही है जैसे मेहमानों के लिए चाय — चायपत्ती बहुत हो पर प्याले केवल 3 हों तो काम नहीं चलता।

क्या यह उपयोगी रहा?