गणित प्रकाश अध्याय 3 आइए, पता लगाएँ (2026-27)

प्र1.

नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति के लिए जहाँ भी संभव हो, वहाँ एक उदाहरण लिखिए — 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से प्राप्त 5 अंकों की संख्या जो 90,250 से अधिक हो; 5 अंकों की संख्या + 3 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या; 4 अंकों की संख्या + 4 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या; 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या; 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से संख्या 18,500; 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से 56,503 से छोटी संख्या; 5 अंकों की संख्या – 3 अंकों की संख्या से 4 अंकों की संख्या; 5 अंकों की संख्या – 4 अंकों की संख्या से 4 अंकों की संख्या; 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से 3 अंकों की संख्या; 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से संख्या 91,500। क्या आप दी गई सभी स्थितियों के लिए उपयुक्त उदाहरण खोज पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका क्या कारण हो सकता है?

उत्तर

स्थिति	उदाहरण	संभव?
5 अंक + 5 अंक → 5 अंकों का योग, 90,250 से अधिक	45,000 + 45,500 = 90,500	हाँ
5 अंक + 3 अंक → 6 अंकों का योग	99,999 + 999 = 1,00,998	हाँ
4 अंक + 4 अंक → 6 अंकों का योग	अधिकतम संभव 9999 + 9999 = 19,998	नहीं
5 अंक + 5 अंक → 6 अंकों का योग	60,000 + 40,000 = 1,00,000	हाँ
5 अंक + 5 अंक → 18,500	न्यूनतम संभव 10,000 + 10,000 = 20,000	नहीं
5 अंक − 5 अंक → 56,503 से छोटा अंतर	80,000 − 50,000 = 30,000	हाँ
5 अंक − 3 अंक → 4 अंकों का अंतर	10,000 − 999 = 9,001	हाँ
5 अंक − 4 अंक → 4 अंकों का अंतर	12,000 − 2,500 = 9,500	हाँ
5 अंक − 5 अंक → 3 अंकों का अंतर	50,999 − 50,000 = 999	हाँ
5 अंक − 5 अंक → 91,500	अधिकतम संभव 99,999 − 10,000 = 89,999	नहीं

दस में से तीन स्थितियाँ असंभव हैं। प्रत्येक का कारण:

4 अंक + 4 अंक = 6 अंक: सबसे बड़ी दो 4-अंकीय संख्याओं का योग भी 9999 + 9999 = 19,998 है, जो केवल 5 अंकों का है। 1,00,000 तक पहुँचने के लिए कहीं बड़ी संख्याएँ चाहिए।
5 अंक + 5 अंक = 18,500: 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10,000 है, अत: न्यूनतम योग 20,000 होगा — जो 18,500 से पहले ही अधिक है।
5 अंक − 5 अंक = 91,500: दो 5-अंकीय संख्याओं का अधिकतम अंतर 99,999 − 10,000 = 89,999 है, जो 91,500 से कम है।

गणित चर्चा: ऐसे ही कुछ प्रश्न स्वयं बनाइए — जैसे “4 अंक + 4 अंक से 2,900” (संभव: 1,900 + 1,000 = 2,900) तथा “5 अंक + 5 अंक से 7 अंकों की संख्या” (असंभव: अधिकतम योग 99,999 + 99,999 = 1,99,998, केवल 6 अंक)।

प्र2.

हमेशा, कभी-कभी, कभी नहीं? नीचे कुछ कथन दिए गए हैं। सोचिए, खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन ‘हमेशा सत्य है’, ‘केवल कभी-कभी सत्य है’ ‘या कभी सत्य नहीं है’। a. 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या। b. 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 4 अंकों की संख्या। c. 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 6 अंकों की संख्या। d. 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या। e. 5 अंकों की संख्या – 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 3 अंकों की संख्या।

उत्तर

कथन	निर्णय	कारण व उदाहरण
a. 5 अंक + 5 अंक = 5 अंक	केवल कभी-कभी सत्य	10,000 + 10,000 = 20,000 ✓ परंतु 60,000 + 50,000 = 1,10,000 ✗
b. 4 अंक + 2 अंक = 4 अंक	केवल कभी-कभी सत्य	1,000 + 10 = 1,010 ✓ परंतु 9,999 + 99 = 10,098 ✗
c. 4 अंक + 2 अंक = 6 अंक	कभी सत्य नहीं	अधिकतम योग 9,999 + 99 = 10,098 — केवल 5 अंक
d. 5 अंक − 5 अंक = 5 अंक	केवल कभी-कभी सत्य	99,999 − 10,000 = 89,999 ✓ परंतु 12,000 − 10,000 = 2,000 ✗
e. 5 अंक − 2 अंक = 3 अंक	कभी सत्य नहीं	न्यूनतम उत्तर 10,000 − 99 = 9,901 — फिर भी 4 अंक

शीघ्र निर्णय कैसे करें: दोनों चरम स्थितियाँ जाँचिए। यदि न्यूनतम संभव उत्तर और अधिकतम संभव उत्तर दोनों ही कथन के बाहर हों, तो कथन कभी सत्य नहीं है। यदि एक उदाहरण सही बैठे और दूसरा नहीं, तो कथन केवल कभी-कभी सत्य है।