प्र1.
नीचे कुछ संख्याओं को कुछ पैटर्नों में व्यवस्थित किया गया है। नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए। क्या हमें उन्हें एक-एक करके जोड़ना चाहिए या इसके लिए हम किसी शीघ्र विधि का उपयोग कर हल कर सकते हैं? इन प्रश्नों को हल करने के लिए आपने जिन अलग-अलग विधियों का प्रयोग किया है, उसे कक्षा में साझा कीजिए और चर्चा कीजिए।
उत्तर
शीघ्र विधि हर बार एक ही है: गिनिए कि कौन-सी संख्या कितनी बार आई है, गुणा कीजिए, फिर जोड़ दीजिए। यह एक-एक करके जोड़ने से कहीं तेज़ है।
| आकृति | इसमें क्या है | शीघ्र गणना | योगफल |
|---|---|---|---|
| a. | 12 बार 40 और 10 बार 50 | 12 × 40 = 480; 10 × 50 = 500 | 980 |
| b. | 8 × 8 की जाली — 44 खानों में 1 बिंदु, 20 खानों में 5 बिंदु | 44 × 1 = 44; 20 × 5 = 100 | 144 |
| c. | 32 खानों में 32 और 16 खानों में 64 | 32 × 32 = 1024; 16 × 64 = 1024 | 2048 |
| d. | 5 × 7 की पट्टियाँ — 17 पर 3 बिंदु, 18 पर 4 बिंदु | 17 × 3 = 51; 18 × 4 = 72 | 123 |
| e. | 22 बार 15, 22 बार 25 और 22 बार 35 | 22 × (15 + 25 + 35) = 22 × 75 | 1650 |
| f. | 18 बार 125, 8 बार 250, 4 बार 500 और एक बार 1000 | 2250 + 2000 + 2000 + 1000 | 7250 |
पूरी गणना
a. 40 वाली 3 पंक्तियों में 4-4 संख्याएँ तथा 50 वाली 2 पंक्तियों में 5-5 संख्याएँ हैं।
(3 × 4) × 40 + (2 × 5) × 50 = 480 + 500 = 980
(3 × 4) × 40 + (2 × 5) × 50 = 480 + 500 = 980
b. जाली 8 × 8 = 64 खानों की है। इनमें 20 गहरे खानों में 5-5 बिंदु हैं; शेष 44 में एक-एक बिंदु।
44 + (20 × 5) = 44 + 100 = 144
44 + (20 × 5) = 44 + 100 = 144
c. ऊपर का भाग 4 पंक्ति × 8 स्तंभ = 32 खाने, प्रत्येक में 32।
नीचे का भाग 4 पंक्ति × 4 खाने = 16 खाने, प्रत्येक में 64।
(32 × 32) + (16 × 64) = 1024 + 1024 = 2048
नीचे का भाग 4 पंक्ति × 4 खाने = 16 खाने, प्रत्येक में 64।
(32 × 32) + (16 × 64) = 1024 + 1024 = 2048
d. पट्ट में 5 स्तंभ × 7 पंक्ति = 35 पत्ते हैं।
पहले और अंतिम स्तंभ (14 पत्ते) तथा छठी पंक्ति के तीन पत्तों पर 3-3 बिंदु → 17 × 3 = 51
शेष 18 पत्तों पर 4-4 बिंदु → 18 × 4 = 72
51 + 72 = 123
पहले और अंतिम स्तंभ (14 पत्ते) तथा छठी पंक्ति के तीन पत्तों पर 3-3 बिंदु → 17 × 3 = 51
शेष 18 पत्तों पर 4-4 बिंदु → 18 × 4 = 72
51 + 72 = 123
e. आकृति सममित है और इसमें 15, 25 तथा 35 प्रत्येक ठीक 22 बार है।
22 × 15 + 22 × 25 + 22 × 35 = 22 × 75 = 1650
22 × 15 + 22 × 25 + 22 × 35 = 22 × 75 = 1650
f. 18 × 125 = 2250, 8 × 250 = 2000, 4 × 500 = 2000, 1 × 1000 = 1000
2250 + 2000 + 2000 + 1000 = 7250
2250 + 2000 + 2000 + 1000 = 7250
समूह बनाना अधिक बुद्धिमानी क्यों है: आकृति (c) में 32 को एक-एक करके जोड़ने में 47 जोड़ करने पड़ते हैं और गलती की संभावना बढ़ जाती है। समूह बनाने से यह केवल दो गुणा और एक जोड़ रह जाता है — और एक छिपी बात भी दिखती है: 32 वाले और 64 वाले भाग बराबर योगदान (1024-1024) देते हैं।
गणित चर्चा: अलग-अलग मित्र अलग-अलग समूह बनाएँगे। आकृति (a) में कोई (40 × 12) + (50 × 10) करेगा तो कोई पंक्ति-दर-पंक्ति 160 + 250 + 160 + 250 + 160 = 980। दोनों सही हैं — कक्षा में विधियों की तुलना कीजिए।