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गणित प्रकाश अध्याय 3 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यहाँ इस ग्रिड में, केवल एक महाकोष्ठ है (अपने पड़ोस की सभी संख्याओं में बड़ी संख्या): 16,200 | 39,344 | 29,765 / 23,609 | 62,871 | 45,306 / 19,381 | 50,319 | 38,408। यदि आप इनमें से किसी एक संख्या के दो अंकों की अदला-बदली करते हैं, तो यहाँ 4 महाकोष्ठ बन जाते हैं। जानिए कि कौन-से अंकों की अदला-बदली की जानी चाहिए।
उत्तर

अभी केवल 62,871 (बीच वाला कोष्ठ) महाकोष्ठ है — यह 39,344, 23,609, 45,306 तथा 50,319 सभी से बड़ा है। यही एक संख्या पूरे ग्रिड पर भारी पड़कर बाकी सबको रोक देती है।

62,871 के अंक 6 और 1 की अदला-बदली कीजिए — अर्थात् पहला और अंतिम अंक बदल दीजिए — जिससे 12,876 बनता है।

16,20039,344 ✓29,765
23,609 ✓12,87645,306 ✓
19,38150,319 ✓38,408

अब चारों की जाँच कीजिए:

39,344 > 16,200, 29,765 तथा 12,876  ✓
23,609 > 16,200, 12,876 तथा 19,381  ✓
45,306 > 29,765, 12,876 तथा 38,408  ✓
50,319 > 12,876, 19,381 तथा 38,408  ✓

उत्तर: 62,871 के 6 और 1 की अदला-बदली करके 12,876 बनाइए — तब ग्रिड में 4 महाकोष्ठ बन जाते हैं।

यह क्यों काम करता है: किनारे के बीच वाले चारों कोष्ठ बीच वाले कोष्ठ को छूते हैं। जैसे ही बीच की संख्या छोटी (12,876) हो जाती है, वे चारों एक साथ अपने-अपने सभी पड़ोसियों से बड़े हो जाते हैं।
प्र2.
अपने जन्म वर्ष से शुरू करके आप कितने चरण में कापरेकर स्थिरांक पर पहुँच जाएँगे?
उत्तर

उदाहरण के लिए वर्ष 2014 लीजिए (आप अपना जन्म वर्ष इसी प्रकार लीजिए)।

चरणसबसे बड़ीसबसे छोटीअंतर
1421010243186
2863113687263
3763223675265
4655225563996
5996336996264
6664224664176
7764114676174

2014 को 7 चरण लगते हैं। दो और उदाहरण:

2013: 3210 − 1023 = 2187; 8721 − 1278 = 7443; 7443 − 3447 = 3996; 9963 − 3699 = 6264; 6642 − 2466 = 4176; 7641 − 1467 = 6174 → 6 चरण
1980: 9810 − 1089 = 8721; 8721 − 1278 = 7443; 7443 − 3447 = 3996; 9963 − 3699 = 6264; 6642 − 2466 = 4176; 7641 − 1467 = 6174 → 6 चरण
संकेत: जब वर्ष में 0 हो (जैसे 2014 में), तो सबसे छोटी 4 अंकों की संख्या 0 से शुरू नहीं हो सकती — अंक 2, 0, 1, 4 से सबसे छोटी संख्या 1024 है।
प्र3.
हम 35,000 और 75,000 के बीच पाँच अंकों की संख्याओं का वह समूह है, जिसके सभी अंक विषम हैं। हमारे समूह की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? हमारे समूह की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है? हम में से कौन-सी संख्या 50,000 के अत्यधिक निकट है?
उत्तर

केवल 1, 3, 5, 7, 9 अंक ही प्रयोग हो सकते हैं और संख्या 35,000 तथा 75,000 के बीच होनी चाहिए।

सबसे बड़ी → 73,999

पहला अंक अधिक से अधिक 7 हो सकता है (9 बहुत बड़ा है — संख्या 75,000 से कम रहनी चाहिए)।
7 पहले रखने पर अगला अंक 5 से कम होना चाहिए, अत: वह 3 है।
शेष स्थानों पर सबसे बड़ा विषम अंक 9 → 73,999

सबसे छोटी → 35,111

पहला अंक कम से कम 3 होना चाहिए।
3 पहले रखने पर संख्या 35,000 से बड़ी होनी चाहिए, अत: अगला अंक 5 है।
शेष स्थानों पर सबसे छोटा विषम अंक 1 → 35,111

50,000 के सबसे निकट → 51,111

50,000 से नीचे अधिकतम 39,999 ही संभव है (4 विषम अंक नहीं है!) → 50,000 − 39,999 = 10,001 की दूरी
50,000 से ऊपर सबसे छोटी 51,111 है → 51,111 − 50,000 = 1,111 की दूरी
1,111 < 10,001, अत: 51,111 सबसे निकट है
अंक 4 यहाँ खलनायक है: 40,000 वाली हर संख्या 4 से शुरू होती है, जो सम अंक है। इसलिए इस समूह में 39,999 और 51,111 के बीच एक भी संख्या नहीं है — ग्यारह हजार से अधिक का खाली स्थान!
प्र4.
आकलन कीजिए कि आपको वर्ष में सप्ताहांतों (Weakends), त्योहारों और छुट्टियों को मिलाकर कुल कितनी छुट्टियाँ मिलती हैं। अब अपनी छुट्टियों की सही संख्या का पता लगाइए और देखिए कि सही संख्या आपके आकलन के कितना समीप है।
उत्तर

पहले आकलन — बड़े-बड़े भागों को गिनिए:

छुट्टी का प्रकारलगभग संख्या
रविवार52
दूसरे शनिवार12
त्योहार (दीवाली, होली, ईद, क्रिसमस, पोंगल …)लगभग 15
ग्रीष्मावकाशलगभग 40
शीतकालीन एवं अन्य अवकाशलगभग 15
अनुमानित कुललगभग 134 दिन

अब सही संख्या। विद्यालय-वर्ष में लगभग 220 कार्य-दिवस होते हैं, अत:

365 − 220 = 145 छुट्टियाँ

अनुमान 134, सही संख्या 145 के काफी निकट है — केवल लगभग 11 दिन का अंतर, जो दसवें भाग से भी कम है। यह अच्छा आकलन है!

स्वयं जाँचिए: कुछ त्योहार रविवार को पड़ते हैं, अत: उन्हें दो बार गिनना एक सामान्य गलती है। कैलेंडर पर निशान लगाकर ऐसी दोहरी गिनती हटाइए।
प्र5.
एक जग, एक बाल्टी और एक छत पर रखी टंकी की क्षमता का लीटर में आकलन कीजिए।
उत्तर
पात्रआकलनकैसे जाँचें
जगलगभग 1 लीटर1 लीटर दूध का पैकेट उसमें पूरा आ जाता है
बाल्टीलगभग 15 – 20 लीटरलगभग 15 जग से एक बाल्टी भरती है
छत की टंकीलगभग 500 – 1000 लीटरलगभग 40 – 60 बाल्टी से भरती है
1 बाल्टी ≈ 15 जग ≈ 15 लीटर
1 टंकी ≈ 50 बाल्टी ≈ 50 × 15 = 750 लीटर
विधि: किसी ऐसी चीज़ से शुरू कीजिए जो निश्चित रूप से ज्ञात हो — 1 लीटर दूध का पैकेट। फिर बाल्टी को जग में और टंकी को बाल्टी में नापिए। हर चरण में गुणा होता जाता है, इसलिए बहुत छोटी वस्तु से बहुत बड़ी मात्रा का आकलन हो जाता है।
प्र6.
एक 5 अंकों की संख्या तथा दो 3 अंकों की संख्याएँ इस प्रकार लिखिए कि उनका योगफल 18,670 हो।
उत्तर

पहले दोनों 3 अंकों की संख्याएँ चुनिए, फिर घटाकर 5 अंकों की संख्या निकालिए।

मान लीजिए 3 अंकों की संख्याएँ 670 और 500 हैं।
670 + 500 = 1,170
18,670 − 1,170 = 17,500
जाँच: 17,500 + 670 + 500 = 18,670 ✓

उत्तर: 17,500 + 670 + 500 = 18,670। दो और सही उत्तर:

18,000 + 370 + 300 = 18,670 ✓
16,870 + 900 + 900 = 18,670 ✓
संकेत: दोनों 3 अंकों की संख्याओं का योग 200 से 1998 तक कुछ भी हो सकता है, अत: 5 अंकों वाला भाग 16,672 से 18,470 तक कुछ भी हो सकता है। हजारों सही उत्तर संभव हैं।
प्र7.
210 और 390 के बीच एक संख्या चुनिए। अनुच्छेद 3.9 में दिए गए संख्या पैटर्न के समान एक पैटर्न निर्मित कीजिए, जिसमें यह चुनी गई संख्या योगफल हो।
उत्तर

250 चुनिए। इसे चार 25 और तीन 50 से बनाइए:

4 × 25 = 100
3 × 50 = 150
100 + 150 = 250 ✓
25 25 50 50 50 25 25 4 × 25 + 3 × 50 = 100 + 150 = 250
अनुभाग 3.9 जैसा पैटर्न — दो-दो 25 की दो पंक्तियाँ और बीच में तीन 50 की एक पंक्ति। सभी संख्याओं का योग 250 है।

इसी योग के लिए एक और पैटर्न: 10 की 5 × 5 वर्गाकार जाली।

25 खाने × 10 = 250 ✓
प्रयास करें: 360 के लिए एक पैटर्न बनाइए — 10 की छह पंक्तियाँ जिनमें छह-छह संख्याएँ हों (36 × 10 = 360), या तीन 100 और तीन 20। फिर किसी मित्र से योग शीघ्र निकालने को कहिए।
प्र8.
अध्याय 1 की सारणी 1 से, 2 की घात का अनुक्रम याद कीजिए। इस अनुक्रम में शुरू की सभी संख्याओं के लिए कोलाट्ज अनुमान सही क्यों है?
उत्तर

2 की घातें हैं 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … — और इनमें से हर एक सम है।

कोलाट्ज़ नियम कहता है: संख्या सम हो तो आधा कीजिए। 2 की किसी घात का आधा उससे ठीक पहले वाली घात होती है, जो फिर सम है। अत: अनुक्रम केवल आधा-आधा होता जाता है और “3 गुना करके 1 जोड़ो” वाला भाग कभी लगता ही नहीं।

64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
1 पर पहुँचना क्यों निश्चित है: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (अर्थात् 64) में हर बार आधा करने पर एक 2 कम हो जाता है। ठीक छह बार आधा करने पर कोई 2 शेष नहीं बचता और केवल 1 रह जाता है। इसी प्रकार 2 को n बार गुणा करने से बनी संख्या ठीक n चरणों में 1 पर पहुँच जाती है — अत: 2 की प्रत्येक घात के लिए कोलाट्ज़ अनुमान निश्चित रूप से सही है।
क्या आपने ध्यान दिया? हर कोलाट्ज़ अनुक्रम 16, 8, 4, 2, 1 पर समाप्त होता है — अर्थात् कोई भी अनुक्रम जैसे ही 2 की किसी घात पर पहुँचता है, आगे की पूरी यात्रा केवल आधा करने की रह जाती है।
प्र9.
यदि कोई व्यक्ति संख्या 100 से शुरू करता है, तो क्या कोलाट्ज अनुमान लागू होगा, इस विषय की जाँच कीजिए।
उत्तर

नियम को चरण-दर-चरण लगाइए — सम संख्या आधी होगी, विषम संख्या 3 गुना करके 1 जोड़ने पर बदलेगी।

100 → 50 → 25 → 76 (25 विषम है: 25 × 3 + 1 = 76) → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

पूरा अनुक्रम इस प्रकार है

100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

हाँ, 100 के लिए कोलाट्ज़ अनुमान लागू होता है। यह 25 चरणों में 1 पर पहुँच जाता है।

स्वयं जाँचिए: 22 के बाद यह ठीक वही अनुक्रम है जो पुस्तक के पृष्ठ 68 पर (d) में छपा है — 22, 11, 34, 17, 52, … 1।
प्र10.
शून्य से प्रारंभ करते हुए खिलाड़ी बारी-बारी से 1 और 3 के बीच संख्या को जोड़ता है, जो व्यक्ति 22 पर पहले पहुँचेगा, वह विजयी होगा। अब जीतने की युक्ति क्या होगी?
उत्तर

अधिकतम 3 जोड़ा जा सकता है, अत: जादुई कदम 3 + 1 = 4 है। 22 से उल्टा 4-4 करके चलिए:

22, 18, 14, 10, 6, 2

पहला खिलाड़ी जीतता है। युक्ति इस प्रकार है:

  1. सबसे पहले 2 बोलिए।
  2. इसके बाद साथी जो भी जोड़े (1, 2 या 3), आप वह संख्या जोड़िए जिससे उस चक्र में कुल 4 जुड़े — वह 1 जोड़े तो आप 3, वह 2 जोड़े तो आप 2, वह 3 जोड़े तो आप 1।
  3. आपके द्वारा बोले गए योग होंगे 2, 6, 10, 14, 18 और अंत में 22 — आप जीत गए।
आप बोलते हैं2610141822 🏆
साथी केवल यहाँ तक पहुँच सकता है3, 4 या 57, 8 या 911, 12 या 1315, 16 या 1719, 20 या 21—
2 से शुरू करना ही सही क्यों है: 22 ÷ 4 = 5, शेषफल 2। यही शेषफल पहले खिलाड़ी को पहली चाल में बोलना है। यदि शेषफल 0 होता (जैसे लक्ष्य 20 में), तो दूसरा खिलाड़ी जीतता।
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