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गणित प्रकाश अध्याय 3 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
नीचे दी गई सारणी में महाकोष्ठ को रंगीन या चिह्नित कीजिए। 6828 | 670 | 9435 | 3780 | 3708 | 7308 | 8000 | 5583 | 52
उत्तर

कोई कोष्ठ महाकोष्ठ तब होता है जब उसकी संख्या उसके साथ लगे कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी हो। प्रत्येक संख्या की तुलना उसके बाएँ और दाएँ पड़ोसी से कीजिए:

कोष्ठ682867094353780370873088000558352
पड़ोसी6706828, 9435670, 37809435, 37083780, 73083708, 80007308, 55838000, 525583
महाकोष्ठ?हाँनहींहाँनहींनहींनहींहाँनहींनहीं

उत्तर: 6828, 9435 तथा 8000 महाकोष्ठ हैं।

52 महाकोष्ठ क्यों नहीं: इसका केवल एक पड़ोसी 5583 है, परंतु 52 उससे छोटी है। दूसरे सिरे पर 6828 का भी केवल एक पड़ोसी (670) है, पर 6828 उससे बड़ी है — इसलिए 6828 महाकोष्ठ है।
प्र2.
नीचे दी गई सारणी को चार अंकों वाली संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि प्रत्येक रंगीन कोष्ठ ही महाकोष्ठ हो। (सारणी में 9 कोष्ठ हैं; पहले कोष्ठ में 5346, चौथे रंगीन कोष्ठ में 1258 तथा आठवें में 9635 दिया है; दूसरा, चौथा और नौवाँ कोष्ठ रंगीन हैं।)
उत्तर

रंगीन कोष्ठ दूसरा, चौथा और नौवाँ हैं। अत: ठीक इन्हीं तीन कोष्ठों की संख्याएँ अपने पड़ोसियों से बड़ी होनी चाहिए, अन्य किसी की नहीं।

कोष्ठ12 ✓34 ✓56789 ✓
संख्या534656781000125811001200130096359800

तीनों रंगीन कोष्ठों की जाँच:

5678 > 5346 तथा 5678 > 1000  ✓
1258 > 1000 तथा 1258 > 1100  ✓
9800 > 9635 (इसका एकमात्र पड़ोसी)  ✓

कोई अन्य कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं बनता: 1300 < 9635, 9635 < 9800, 1200 < 1300, इत्यादि।

संकेत: अंतिम कोष्ठ रंगीन है और उसका एकमात्र पड़ोसी 9635 है, अत: वहाँ 9636 से 9999 तक की कोई भी संख्या लिखी जा सकती है।
प्र3.
नीचे दी गई सारणी को इस प्रकार भरिए कि हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों। बिना दोहराए 100 से 1000 के बीच की संख्याओं का उपयोग कीजिए।
उत्तर

सारणी में 9 कोष्ठ हैं, अत: बड़ी संख्याएँ पहले, तीसरे, पाँचवें, सातवें और नौवें कोष्ठ में तथा छोटी संख्याएँ बीच में लिखिए:

कोष्ठ1 ✓23 ✓45 ✓67 ✓89 ✓
संख्या500100600200700300800400900
500 > 100 ✓    600 > 100, 200 ✓    700 > 200, 300 ✓    800 > 300, 400 ✓    900 > 400 ✓

सभी नौ संख्याएँ भिन्न हैं और 100 से 1000 के बीच हैं। इस प्रकार 5 महाकोष्ठ प्राप्त होते हैं, जो 9 कोष्ठों में अधिकतम संभव है।

प्र4.
उपरोक्त सारणी में 9 संख्याओं में से कितने महाकोष्ठ हैं?
उत्तर

5 महाकोष्ठ — पहले, तीसरे, पाँचवें, सातवें और नौवें कोष्ठ की संख्याएँ।

अधिकतम 5 ही क्यों: दो महाकोष्ठ कभी साथ-साथ नहीं हो सकते (दो पड़ोसियों में केवल बड़ी संख्या ही जीतती है)। अत: दो महाकोष्ठों के बीच कम से कम एक साधारण कोष्ठ होना ही चाहिए। 9 कोष्ठों की पंक्ति में एक-एक कोष्ठ छोड़कर अधिक से अधिक 1, 3, 5, 7, 9 — अर्थात् 5 कोष्ठ ही चुने जा सकते हैं।
प्र5.
भिन्न संख्याओं के कोष्ठों में कितने महाकोष्ठ संभव हैं? क्या आपको इनमें कोई पैटर्न दिखाई देता है? दी गई सारणी को भरने का वह कौन-सा तरीका होगा जिससे हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों? ढूँढ़िए और अपनी योजना को साझा कीजिए।
उत्तर

बड़ी संख्याएँ पहले, तीसरे, पाँचवें … कोष्ठों में (एक-एक छोड़कर) और छोटी संख्याएँ बीच में भरिए। तब:

कोष्ठों की संख्या2345678910
अधिकतम महाकोष्ठ122334455

पैटर्न:

यदि कोष्ठों की संख्या n सम है → अधिकतम महाकोष्ठ = n ÷ 2
यदि कोष्ठों की संख्या n विषम है → अधिकतम महाकोष्ठ = (n + 1) ÷ 2
यही सर्वोत्तम क्यों है: दो साथ लगे कोष्ठ एक साथ महाकोष्ठ नहीं हो सकते। अत: दो महाकोष्ठों के बीच कम से कम एक कोष्ठ चाहिए। 1, 3, 5, 7 … चुनने से वे जितना पास-पास हो सकते हैं, उतने पास-पास आ जाते हैं।
गणित चर्चा: 6 कोष्ठों पर आजमाइए — 600, 100, 700, 200, 800, 300 में पहले, तीसरे और पाँचवें कोष्ठ महाकोष्ठ हैं, अर्थात् 6 ÷ 2 = 3 महाकोष्ठ।
प्र6.
क्या आप संख्याओं को बिना दोहराए एक रिक्त महाकोष्ठ सारणी को इस प्रकार भर सकते हैं कि उसमें कोई महाकोष्ठ न हो? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

नहीं — यह असंभव है। कम से कम एक महाकोष्ठ सदैव बनेगा।

ऐसा क्यों: सारणी में लिखी गई सबसे बड़ी संख्या को देखिए। कोई संख्या दोहराई नहीं गई है, अत: उस कोष्ठ के सभी पड़ोसियों में उससे छोटी संख्याएँ ही होंगी। इसलिए वह कोष्ठ अपने सभी पड़ोसियों से बड़ा है — वह कहीं भी हो, महाकोष्ठ ही होगा।
प्रयास करें: एक पंक्ति में कोई 5 भिन्न संख्याएँ लिखिए और सबसे बड़ी संख्या ढूँढ़िए। वह हर बार महाकोष्ठ मिलेगी।
प्र7.
क्या एक सारणी में सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, हमेशा महाकोष्ठ होगा? क्या एक सारणी में सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ सदैव महाकोष्ठ होगा। सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ कभी महाकोष्ठ नहीं हो सकता (यदि सारणी में एक से अधिक कोष्ठ हों)।

  • सबसे बड़ी संख्या: सारणी की हर दूसरी संख्या उससे छोटी है, अत: उसके सभी पड़ोसी भी छोटे हैं। सभी पड़ोसियों से बड़ा होना ही महाकोष्ठ की परिभाषा है।
  • सबसे छोटी संख्या: उसके प्रत्येक पड़ोसी में बड़ी संख्या है, अत: वह तुलना में तुरंत हार जाती है।
संकेत: इसी कारण प्रश्न 6 का उत्तर “नहीं” है — प्रत्येक सारणी में उसकी सबसे बड़ी संख्या होती ही है और वह कोष्ठ सदैव महाकोष्ठ होता है।
प्र8.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो।
उत्तर

बस दूसरी सबसे बड़ी संख्या को सबसे बड़ी संख्या के ठीक बगल में लिख दीजिए।

कोष्ठ123456789
संख्या110120130140150160170190180
सबसे बड़ी = 190 (कोष्ठ 8) → महाकोष्ठ
दूसरी सबसे बड़ी = 180 (कोष्ठ 9), इसका एकमात्र पड़ोसी 190 है
180 < 190, अत: 180 महाकोष्ठ नहीं है ✓
प्र9.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो, लेकिन दूसरी सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो? क्या यह संभव है?
उत्तर

हाँ, यह संभव है। दूसरी सबसे बड़ी संख्या को सबसे बड़ी के बगल में रखिए तथा दूसरी सबसे छोटी संख्या को दूसरे सिरे पर सबसे छोटी संख्या के बगल में रखिए।

कोष्ठ123456789
संख्या120110130140150160170190180
दूसरी सबसे छोटी = 120 (कोष्ठ 1)। इसका एकमात्र पड़ोसी 110 है और 120 > 110 → महाकोष्ठ ✓
दूसरी सबसे बड़ी = 180 (कोष्ठ 9)। इसका एकमात्र पड़ोसी 190 है और 180 < 190 → महाकोष्ठ नहीं ✓
युक्ति: पंक्ति के सिरे वाले कोष्ठ का केवल एक पड़ोसी होता है, अत: उसे नियंत्रित करना सबसे सरल है। सबसे छोटी संख्या एक सिरे पर और सबसे बड़ी संख्या दूसरे सिरे के पास रखिए।
प्र10.
इस पहेली के अन्य रूप बनाइए और अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
उत्तर

अपने मित्रों के लिए ऐसी पहेलियाँ बनाइए — इन सभी में 9 कोष्ठों की एक पंक्ति है:

  • सारणी को 3 अंकों की संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि ठीक 2 महाकोष्ठ बनें।
  • सारणी को इस प्रकार भरिए कि केवल बीच वाला कोष्ठ (पाँचवाँ) ही महाकोष्ठ हो।
  • सारणी को इस प्रकार भरिए कि दोनों सिरों के कोष्ठ महाकोष्ठ हों, बीच का कोई नहीं।
  • क्या 9 कोष्ठों में 6 महाकोष्ठ बनाए जा सकते हैं? (उत्तर: नहीं — असली पहेली यह है कि मित्र से कारण पूछिए।)
  • केवल सम संख्याएँ (100 से 1000 के बीच) प्रयोग करके अधिकतम महाकोष्ठ बनाइए।
प्रयास करें: यही पहेलियाँ 2 पंक्ति और 4 स्तंभ वाली सारणी के लिए बनाइए। वहाँ समीपवर्ती कोष्ठ बाएँ, दाएँ, ऊपर और नीचे वाले होते हैं।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ