गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या बच्चे अपने आपको इस प्रकार पुन: व्यवस्थित कर सकते हैं कि अंत में खड़े बच्चे ‘2’ कह सकें?
उत्तर

नहीं, यह संभव नहीं है।

ऐसा क्यों: पंक्ति के सिरे पर खड़े बच्चे का केवल एक ही पड़ोसी होता है — बाहर की ओर कोई नहीं होता। ‘2’ कहने का अर्थ है “मेरे दोनों पड़ोसी मुझसे लंबे हैं”, परंतु सिरे वाले बच्चे के दो पड़ोसी होते ही नहीं। अत: सिरे पर खड़ा बच्चा केवल 0 या 1 ही कह सकता है।
प्र2.
क्या हम बच्चों को एक पंक्ति में इस प्रकार खड़ा कर सकते हैं कि सभी ‘0’ कह सकें?
उत्तर

हाँ — परंतु केवल तभी जब सभी बच्चों की ऊँचाई समान हो

यदि सभी बराबर लंबे हैं तो किसी का भी कोई पड़ोसी उससे लंबा नहीं होगा, अत: प्रत्येक बच्चा 0 कहेगा।

और कोई व्यवस्था क्यों नहीं चलेगी: मान लीजिए ऊँचाइयाँ समान नहीं हैं। पंक्ति के सबसे छोटे बच्चे को देखिए। उसके बगल में खड़ा बच्चा उससे लंबा होगा ही, अत: वह 1 या 2 कहेगा — 0 नहीं।
प्र3.
क्या दो साथ खड़े बच्चे समान संख्या कह सकते हैं?
उत्तर

हाँ। साथ खड़े दो बच्चे सरलता से एक ही संख्या कह सकते हैं।

पृष्ठ 55 के पहले चित्र को देखिए — बच्चे 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0 कहते हैं, जिसमें तीसरा और चौथा बच्चा दोनों ‘1’ कहते हैं।

यदि बच्चे बढ़ती ऊँचाई के क्रम में खड़े हों तो ऐसा होता है:

सबसे छोटा → उससे लंबा → उससे लंबा → उससे लंबा → सबसे लंबा
बोली गई संख्याएँ: 1, 1, 1, 1, 0

यहाँ पहले चार बच्चों में से प्रत्येक का दाईं ओर वाला पड़ोसी उससे लंबा है।

प्र4.
एक समूह में भिन्न ऊँचाइयों वाले 5 बच्चे हैं। क्या वे इस प्रकार खड़े हो सकते हैं कि उनमें से चार ‘1’ कहें तथा आखिरी ‘0’ कहें? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

हाँ, ऐसा हो सकता है। बच्चों को ऊँचाई के बढ़ते क्रम में खड़ा कीजिए — सबसे छोटे से सबसे लंबे तक।

1 1 1 1 0 बच्चे छोटे से लंबे के क्रम में
भिन्न ऊँचाइयों वाले पाँच बच्चे बढ़ते क्रम में। पहले चार में से प्रत्येक का ठीक एक पड़ोसी लंबा है, अत: वे 1 कहते हैं; सबसे लंबा बच्चा 0 कहता है।
यह क्यों काम करता है: पहले चार बच्चों में से प्रत्येक का दाईं ओर वाला पड़ोसी लंबा है और बाईं ओर वाला (यदि है तो) छोटा है — अर्थात् ठीक एक लंबा पड़ोसी। सबसे लंबा बच्चा सिरे पर खड़ा है और उससे लंबा कोई नहीं, अत: वह 0 कहता है।
प्र5.
क्या 5 बच्चों के इस समूह में 1, 1, 1, 1, 1 का अनुक्रम संभव है?
उत्तर

नहीं, यह संभव नहीं है।

ऐसा क्यों: समूह के सबसे लंबे बच्चे के विषय में सोचिए। उससे लंबा कोई नहीं है, अत: वह पंक्ति में कहीं भी खड़ा हो, उसे 0 ही कहना पड़ेगा। इसलिए अनुक्रम में कहीं न कहीं ‘0’ आएगा ही, और पाँचों बच्चे कभी 1 नहीं कह सकते।
संकेत: यही तर्क बताता है कि भिन्न ऊँचाइयों वाले कितने भी बच्चों का अनुक्रम कभी पूरा 1 या पूरा 2 नहीं हो सकता — सबसे लंबे बच्चे के स्थान पर 0 सदैव आएगा।
प्र6.
क्या अनुक्रम 0, 1, 2, 1, 0 संभव है? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

हाँ, यह संभव है। बच्चों को इस प्रकार खड़ा कीजिए कि दो सबसे लंबे बच्चे दोनों सिरों पर हों और सबसे छोटा बीच में हो।

0 1 2 1 0 सबसे लंबे बच्चे सिरों पर, सबसे छोटा बीच में
ऊँचाइयाँ बीच की ओर घटती हैं और फिर बढ़ती हैं। बीच वाला बच्चा अपने दोनों पड़ोसियों से छोटा है, अत: वह 2 कहता है।

मान लीजिए बाएँ से दाएँ ऊँचाइयाँ (सेमी में) 150, 140, 120, 130, 145 हैं:

150 → दाईं ओर 140 छोटा है → 0
140 → 150 लंबा, 120 छोटा → 1
120 → 140 और 130 दोनों लंबे → 2
130 → 120 छोटा, 145 लंबा → 1
145 → 130 छोटा → 0
प्र7.
आप 5 बच्चों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे कि अधिक से अधिक बच्चे ‘2’ कह सकें?
उत्तर

पाँच में से अधिक से अधिक दो बच्चे ‘2’ कह सकते हैं। दो सबसे छोटे बच्चों को दूसरे और चौथे स्थान पर खड़ा कीजिए, जिससे उनके दोनों ओर लंबे बच्चे हों:

0 2 0 2 0 छोटे बच्चे दूसरे और चौथे स्थान पर
ऊँचाइयाँ 145, 120, 150, 125, 140। दूसरा और चौथा बच्चा अपने दोनों पड़ोसियों से छोटे हैं, अत: दोनों 2 कहते हैं — अनुक्रम 0, 2, 0, 2, 0 बनता है।
केवल दो ही क्यों: सिरों पर खड़े बच्चे कभी 2 नहीं कह सकते, अत: केवल दूसरा, तीसरा और चौथा बच्चा ही संभव हैं। परंतु ‘2’ कहने वाले दो बच्चे कभी साथ-साथ खड़े नहीं हो सकते — यदि तीसरा बच्चा 2 कहता तो दूसरा और चौथा दोनों उससे लंबे होते और स्वयं 2 नहीं कह पाते। इसलिए सर्वोत्तम स्थिति दूसरे और चौथे बच्चे की है: 2 बच्चे
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