गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

सामान्य 12 घंटे वाली घड़ी में कुछ समयों में पैटर्न दिखाई देता है। उदाहरण के लिए— 4:44, 10:10 और 12:21। 12 घंटे की घड़ी में इस प्रकार के सभी संभव समयों को ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।

उत्तर

यहाँ तीन अलग-अलग प्रकार के पैटर्न हैं। इन्हें एक-एक करके देखिए।

प्रकार 1 — पूरे समय में एक ही अंक (जैसे 4:44)

1:11 2:22 3:33 4:44 5:55 11:11

6:66 आगे संभव नहीं है, क्योंकि मिनट 59 से अधिक नहीं हो सकते।

प्रकार 2 — मिनटों में घंटा दोहराया गया हो (जैसे 10:10)

01:01 02:02 03:03 04:04 05:05 06:06
07:07 08:08 09:09 10:10 11:11 12:12

अर्थात् ऐसे 12 समय।

प्रकार 3 — पैलिंड्रोम समय, जो दोनों ओर से एक जैसा पढ़ा जाए (जैसे 12:21)

01:10 02:20 03:30 04:40 05:50
10:01 11:11 12:21

06:60 संभव नहीं है, अत: यह सूची 05:50 पर रुक जाती है।

क्या आपने ध्यान दिया? 11:11 तीनों सूचियों में आता है — यही एकमात्र ऐसा समय है जो दोहराया हुआ भी है, पैलिंड्रोम भी है और एक ही अंक से बना भी है।

प्र2.

मनीष का जन्मदिन 20/12/2012 को है, जहाँ अंक ‘2’, ‘0’, ‘1’ और ‘2’ उसी क्रम में दोहराए जाते हैं। बीते समय में इस प्रकार की कुछ अन्य तिथियों को ज्ञात कीजिए।

उत्तर

ऐसी तिथि में वर्ष केवल दिन और महीने को दोहराता है: 20/12/2012। अत: कोई भी दिन और महीना चुनिए, उन्हें साथ लिखिए — वही वर्ष है।

तिथि	दिन व महीना	बना वर्ष
20/01/2001	20 और 01	2001
20/04/2004	20 और 04	2004
20/06/2006	20 और 06	2006
20/11/2011	20 और 11	2011
19/11/1911	19 और 11	1911
18/12/1812	18 और 12	1812
17/09/1709	17 और 09	1709

नियम: 2000 के दशक की तिथि के लिए दिन 20 होना चाहिए (जिससे वर्ष 20 से शुरू हो) और महीना 01 से 12 तक कुछ भी। पुरानी शताब्दियों के लिए दिन ही शताब्दी तय करता है — 19 से 19xx, 18 से 18xx।

प्र3.

उसकी बहन मेघना का जन्मदिन 11/02/2011 को है, इसमें बाएँ से दाएँ तथा दाएँ से बाएँ अंकों को एक जैसा ही पढ़ा जाता है। बीते हुए समय से इसी प्रकार की सभी संभावित तिथियों को ज्ञात कीजिए।

उत्तर

तिथि को आठ अंकों में लिखिए: 1 1 0 2 2 0 1 1। पैलिंड्रोम होने के लिए वर्ष को दिन और महीने का उल्टा होना चाहिए।

हमारी शताब्दी में वर्ष 2 और फिर 0 से शुरू होता है, अत: महीना 02 (फरवरी) ही हो सकता है। इससे 2000 के दशक की सभी पैलिंड्रोमिक तिथियाँ मिलती हैं:

तिथि	अंकों में	उल्टा पढ़ने पर
10/02/2001	10022001	10022001 ✓
20/02/2002	20022002	20022002 ✓
01/02/2010	01022010	01022010 ✓
11/02/2011	11022011	11022011 ✓
21/02/2012	21022012	21022012 ✓
02/02/2020	02022020	02022020 ✓
12/02/2021	12022021	12022021 ✓
22/02/2022	22022022	22022022 ✓

21वीं शताब्दी में अब तक की ये आठ ही पैलिंड्रोमिक तिथियाँ हैं — और इनमें से हर एक फरवरी में पड़ती है!

क्या आप जानते हैं? पुराने उदाहरण भी हैं: 11/11/1111 तथा 12/11/1121। 22/02/2022 के बाद अगली पैलिंड्रोमिक तिथि 03/02/2030 होगी।

प्र4.

लेकिन, क्या किसी वर्ष का कैलेंडर कुछ वर्षों बाद दोहराया जाएगा? क्या किसी वर्ष की सभी तिथियाँ और दिन, ठीक किसी दूसरे वर्ष के कैलेंडर के साथ पूर्णतया मेल करेंगी?

उत्तर

हाँ — कैलेंडर दोहराए जाते हैं और पुराने कैलेंडर का पुन: उपयोग किया जा सकता है।

साधारण वर्ष में 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 अतिरिक्त दिन होते हैं, अत: अगली बार वही तिथि एक दिन आगे खिसक जाती है। लीप वर्ष में 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन होते हैं, अत: खिसकाव दो दिन का होता है।

1 जनवरी 2014 को बुधवार था → 1 जनवरी 2025 को भी बुधवार था
दोनों साधारण वर्ष हैं, अत: 2014 का पूरा कैलेंडर 2025 से मेल खाता है।

साधारण वर्ष का कैलेंडर प्राय: 6, 11 या 28 वर्ष बाद लौटता है — जैसे 2018 और 2029 के कैलेंडर बिल्कुल समान हैं।
लीप वर्ष का कैलेंडर 28 वर्ष बाद लौटता है — 2024 का कैलेंडर 2052 में फिर काम आएगा।

दो बातें मिलनी चाहिए: (1) दोनों वर्ष एक ही वार से शुरू हों, तथा (2) दोनों लीप वर्ष हों या दोनों साधारण। तभी हर तिथि उसी दिन पड़ेगी।

प्रयास करें: घर में रखा कोई पुराना कैलेंडर ढूँढ़िए और पता लगाइए कि वह किस आने वाले वर्ष में काम आएगा।

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