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गणित प्रकाश अध्याय 5 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।
उत्तर

40 का पहाड़ा लिखिए और बीच में आने वाली संख्याएँ छाँट लीजिए।

40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, …

310 और 410 के बीच प्राप्त होते हैं—

320, 360 और 400
शीघ्र विधि: 310 ÷ 40 = 7, शेषफल 30। अतः 310 के बाद पहला गुणज 40 × 8 = 320 है। इसके बाद 40 जोड़ते जाइए — 320, 360, 400। अगला गुणज 440 है, जो 410 से आगे निकल जाता है।
प्र2.
मैं कौन हूँ? a. मैं 40 से कम एक संख्या हूँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंकों का जोड़ 8 है। b. मैं 100 से छोटी एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अधिक है।
उत्तर

a. वह संख्या 35 है।

“मेरा एक गुणनखंड 7 है” का अर्थ है कि संख्या 7 की गुणज है। 40 से छोटे 7 के गुणज हैं—

7 का गुणज714212835
अंकों का योग71 + 4 = 52 + 1 = 32 + 8 = 103 + 5 = 8 ✔

b. वह संख्या 45 है।

3 और 5 दोनों गुणनखंड होने का अर्थ है कि संख्या 15 की गुणज है। 100 से छोटी ऐसी संख्याएँ हैं—

15 का गुणज153045607590
अंक1, 53, 04, 5 ✔6, 07, 59, 0
अंतर 1?नहींनहींहाँनहींनहींनहीं
4 और 5 → 5 = 4 + 1 ✔    तथा    45 = 3 × 15 = 5 × 9 ✔
प्र3.
एक संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या से दुगना हो, संपूर्ण संख्या (Perfect Number) कहलाती है। संख्या 28 एक संपूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 है, इनका योग 56 है जो कि 28 का दुगना है। 1 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर

संपूर्ण संख्या 6 है।

6 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 6
1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6 ✔

अब जाँचिए कि 1 से 10 तक कोई अन्य संख्या ऐसी नहीं है—

संख्यागुणनखंडगुणनखंडों का योगसंख्या का दुगनासंपूर्ण?
41, 2, 478नहीं
51, 5610नहीं
61, 2, 3, 61212हाँ ✔
81, 2, 4, 81516नहीं
91, 3, 91318नहीं
101, 2, 5, 101820नहीं
क्या आप जानते हैं? संपूर्ण संख्याएँ बहुत कम हैं। पहली चार संपूर्ण संख्याएँ हैं — 6, 28, 496 तथा 8128। आज तक कोई विषम संपूर्ण संख्या नहीं मिली है, और यह भी सिद्ध नहीं हो पाया कि ऐसी कोई संख्या नहीं होती!
प्र4.
उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए— a. 20 और 28 b. 35 और 50 c. 4, 8 और 12 d. 5, 15 और 25
उत्तर

प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंड लिखिए और वे चुन लीजिए जो सबमें आते हों।

भागगुणनखंडउभयनिष्ठ गुणनखंड
a. 20 और 2820 → 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 → 1, 2, 4, 7, 14, 28		1, 2, 4
b. 35 और 5035 → 1, 5, 7, 35
50 → 1, 2, 5, 10, 25, 50		1, 5
c. 4, 8 और 124 → 1, 2, 4
8 → 1, 2, 4, 8
12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12		1, 2, 4
d. 5, 15 और 255 → 1, 5
15 → 1, 3, 5, 15
25 → 1, 5, 25		1, 5
सदैव याद रखिए: 1 प्रत्येक संख्या को विभाजित करता है, अतः 1 किन्हीं भी संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है। इसीलिए चारों उत्तरों में 1 आया है।
प्र5.
तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।
उत्तर

25 का पहाड़ा लिखिए और उनमें से वे संख्याएँ काट दीजिए जो 50 के पहाड़े में भी आती हैं।

25 का पहाड़ा → 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, …

ऐसी तीन संख्याएँ: 25, 75 और 125। (175, 225, 275 … भी सही हैं।)

एक छोड़कर एक संख्या ही क्यों बचती है: 50 = 25 × 2, अतः 25 का कोई गुणज 50 का गुणज तभी होगा जब उसमें 25 की सम संख्या में आवृत्ति हो। इसलिए 25 के विषम गुणज — 25 × 1, 25 × 3, 25 × 5, … — कभी 50 के गुणज नहीं होते।
प्र6.
अंशु और उसके मित्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली-वड़ा’ खेल, खेल रहे हैं। दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं। पहली बार यदि कोई ‘इडली-वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोनों संख्याएँ क्या होंगी, जिन्हें ‘इडली’ और ‘वड़ा’ कहा गया है।
उत्तर

पहला ‘इडली-वड़ा’ दोनों संख्याओं के प्रथम सार्व गुणज पर आता है। अतः हमें 10 से छोटी ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका प्रथम सार्व गुणज 50 से बड़ा हो।

युग्मप्रथम सार्व गुणज50 से बड़ा?
6 और 742नहीं
5 और 945नहीं
6 और 918नहीं
7 और 856हाँ ✔
7 और 963हाँ ✔
8 और 972हाँ ✔

उत्तर: दोनों संख्याएँ 7 और 8, अथवा 7 और 9, अथवा 8 और 9 हो सकती हैं।

केवल यही तीन युग्म क्यों: दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं, अतः उनका गुणनफल अधिक से अधिक 9 × 8 = 72 हो सकता है। प्रथम सार्व गुणज को 50 के पार ले जाने के लिए संख्याएँ बड़ी होनी चाहिए और उनका कोई सार्व गुणनखंड नहीं होना चाहिए, वरना प्रथम सार्व गुणज गुणनफल से बहुत नीचे आ जाता है। 7, 8 और 9 आपस में सह-अभाज्य हैं, इसलिए उनके प्रथम सार्व गुणज उनके गुणनफल 56, 63 तथा 72 ही हैं।
ध्यान दीजिए: पुस्तक के अंत में दिए उत्तरों में केवल 7, 8 और 8, 9 दिए गए हैं — युग्म 7 और 9 भी उतना ही सही है (63 > 50)।
प्र7.
खजाने की खोज खेल में ग्रम्पी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार क्या होना चाहिए।
उत्तर

जम्पी को 28 और 70 का उभयनिष्ठ गुणनखंड चाहिए।

28 के गुणनखंड → 1, 2, 4, 7, 14, 28
70 के गुणनखंड → 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

दोनों सूचियों में आने वाली संख्याएँ हैं—

1, 2, 7 और 14
छलाँग 7 → 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ✔
छलाँग 14 → 14, 28, 42, 56, 70 ✔

उत्तर: छलाँग के आकार 1, 2, 7 और 14।

शीघ्र विधि: 28 = 2 × 2 × 7 तथा 70 = 2 × 5 × 7। दोनों में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 7 हैं, अतः उभयनिष्ठ गुणनखंड हुए 1, 2, 7 तथा 2 × 7 = 14।
प्र8.
नीचे दिए गए चित्र से गुणा ने उभयनिष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाइए कि वे संख्याएँ कौन-सी हो सकती हैं? और उन लुप्त संख्याओं को खाली स्थान में लिखिए।
उत्तर

बीच के भाग में 24, 48 और 72 दिख रही हैं। ये हर बार 24 बढ़ रही हैं, अतः दोनों संख्याओं का प्रथम सार्व गुणज 24 है।

इसलिए हमें ऐसा युग्म चाहिए जिसका प्रथम सार्व गुणज 24 हो। एक अच्छा चयन है 8 और 12—

8 के गुणज12 के गुणज8163240566480882448729612366084सार्व गुणज
बाएँ 8 के गुणज, दाएँ 12 के गुणज; बीच में सार्व गुणज 24, 48, 72, 96।
केवल 8 के गुणज → 8, 16, 32, 40, 56, 64, 80, 88 …
केवल 12 के गुणज → 12, 36, 60, 84 …
सार्व गुणज → 24, 48, 72, 96 …

अन्य युग्म भी सही हैं, क्योंकि उनका प्रथम सार्व गुणज भी 24 ही है—

  • 3 और 8 — बाएँ: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27 …; दाएँ: 8, 16, 32, 40 …
  • 6 और 8 — बाएँ: 6, 12, 18, 30, 36, 42 …; दाएँ: 8, 16, 32, 40 …
  • 4 और 24, 2 और 24, 12 और 24 — इनमें 24 का प्रत्येक गुणज बीच के भाग में आ जाता है।
निश्चित कैसे हों: बीच में बची संख्याएँ 24, 48, 72 हैं — अर्थात् 24 के गुणज। अतः गुणा ने जो भी युग्म चुना हो, उसका प्रथम सार्व गुणज ठीक 24 ही होना चाहिए — न इससे छोटा, न बड़ा।
प्र9.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
उत्तर

हमें ऐसी छोटी से छोटी संख्या चाहिए जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 तथा 10 से विभाजित हो। प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी आवश्यक घात लीजिए।

8 के लिए चाहिए 2 × 2 × 2
9 के लिए चाहिए 3 × 3
5 (तथा 10) के लिए चाहिए 5
सबसे छोटी संख्या = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

प्रत्येक संख्या से जाँचिए—

360 में भाग1234568910
भागफल360180120907260454036

प्रत्येक भाग पूरा-पूरा है, अतः उत्तर 360 है।

प्र10.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
उत्तर

यह पिछला उत्तर ही है, जिसमें छूटा हुआ 7 वापस जोड़ दिया जाए।

सबसे छोटी संख्या = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 360 × 7 = 2520

जाँच—

2520 में भाग12345678910
भागफल25201260840630504420360315280252
केवल 7 से गुणा क्यों: 360 में 2 तीन बार, 3 दो बार तथा 5 एक बार पहले से है — जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 और 10 के लिए पर्याप्त है। केवल अभाज्य 7 छूट रहा था, अतः एक बार 7 से गुणा करना ही पर्याप्त है। इससे छोटी कोई संख्या काम नहीं कर सकती, क्योंकि उत्तर में 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 5 तथा 7 अवश्य होने चाहिए।
क्या आप जानते हैं? 2520 वह सबसे छोटी संख्या है जो 1 से 10 तक की हर संख्या से विभाजित होती है। 1 से 20 तक की हर संख्या से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या 232792560 है!
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