गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

कौन-सा छलाँग का आकार 15 और 30 दोनों तक पहुँच सकता है? यहाँ बहुत सारे छलाँग के आकार संभव हैं। उन सभी को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए।

उत्तर

जम्पी 0 से आरंभ करता है और केवल अपने छलाँग-आकार के गुणजों पर ही उतरता है। अतः कोई छलाँग-आकार किसी संख्या तक तभी पहुँचाएगा जब वह उस संख्या का गुणनखंड हो। दोनों खजानों तक पहुँचने के लिए छलाँग-आकार 15 और 30 का सार्व गुणनखंड होना चाहिए।

15 के गुणनखंड → 1, 3, 5, 15
30 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

दोनों सूचियों में आने वाली संख्याएँ हैं—

1, 3, 5 और 15

उत्तर: छलाँग के आकार 1, 3, 5 और 15 — कुल चार।

छलाँग 3 → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ✔
छलाँग 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30 ✔
छलाँग 15 → 15, 30 ✔

यहाँ 15 का प्रत्येक गुणनखंड क्यों काम करता है: 15 स्वयं 30 का गुणनखंड है, इसलिए जो संख्या 15 को विभाजित करती है वह 30 को भी विभाजित करेगी। यही कारण है कि 15 के चारों गुणनखंड सफल रहते हैं।

प्र2.

नीचे दी गई तालिका का अवलोकन कीजिए। इस तालिका से आपने क्या समझा? तालिका में— 1. क्या छायांकित बॉक्स संख्याओं के मध्य कुछ समानता है?

उत्तर

तालिका (31 से 70) की छायांकित संख्याएँ हैं—

33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69

हाँ — इनमें से हर संख्या 3 के पहाड़े में आती है।

33 = 3 × 11    36 = 3 × 12    39 = 3 × 13    42 = 3 × 14    45 = 3 × 15
48 = 3 × 16    51 = 3 × 17    54 = 3 × 18    57 = 3 × 19    60 = 3 × 20
63 = 3 × 21    66 = 3 × 22    69 = 3 × 23

सभी छायांकित संख्याएँ 3 की गुणज हैं। ये हर बार 3 बढ़ती जाती हैं — 33, 36, 39, … — इसीलिए तालिका में तिरछे क्रम में दिखाई देती हैं।

संकेत: कोई संख्या 3 की गुणज तभी होती है जब उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। जाँचिए — 57 → 5 + 7 = 12, और 12, 3 के पहाड़े में है। ✔

प्र3.

2. क्या वृत्त में अंकित संख्याओं के बीच कुछ समानता है?

उत्तर

वृत्त में अंकित संख्याएँ हैं—

32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68

हर संख्या अपनी पिछली संख्या से 4 अधिक है और प्रत्येक 4 के पहाड़े में आती है।

32 = 4 × 8 36 = 4 × 9 40 = 4 × 10 44 = 4 × 11 48 = 4 × 12
52 = 4 × 13 56 = 4 × 14 60 = 4 × 15 64 = 4 × 16 68 = 4 × 17

वृत्त में अंकित सभी संख्याएँ 4 की गुणज हैं।

संकेत: कोई संख्या 4 की गुणज तभी होती है जब उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 की गुणज हो। यह बात आप स्वयं पृष्ठ 124 पर सिद्ध करेंगे।

प्र4.

3. ऐसी कौन-सी संख्याएँ हैं, जो छायांकित बॉक्स और वृत्त, दोनों में हैं। इन संख्याओं को क्या कहते हैं?

उत्तर

केवल तीन संख्याओं पर दोनों निशान हैं—

36, 48 और 60

ये 3 और 4 के सार्व गुणज कहलाती हैं।

36 = 3 × 12 = 4 × 9 48 = 3 × 16 = 4 × 12 60 = 3 × 20 = 4 × 15

ये 12 के गुणज ही क्यों हैं: जो संख्या 3 की गुणज है और 4 की भी, वह 3 × 4 = 12 की गुणज होगी (क्योंकि 3 और 4 का 1 के अतिरिक्त कोई सार्व गुणनखंड नहीं है)। 31 और 70 के बीच 12 के गुणज हैं 36, 48 तथा 60 — ठीक वही तीन संख्याएँ। ✔

प्रयास करें: यदि तालिका 100 तक होती, तो दोनों निशान वाली अगली संख्याएँ 72, फिर 84 और फिर 96 होतीं।

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