EN हिं

गणित प्रकाश अध्याय 5 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य-गुणनखंडन ज्ञात कीजिए— 64, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000
उत्तर

सबसे छोटी उपयुक्त अभाज्य संख्या से बार-बार भाग देते जाइए, जब तक केवल अभाज्य संख्याएँ न बचें।

संख्याकैसे टूटती हैअभाज्य गुणनखंडन
6464 = 2 × 32 = 2 × 2 × 16 = …2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
105105 = 5 × 21 = 5 × 3 × 73 × 5 × 7
243243 = 3 × 81 = 3 × 3 × 27 = …3 × 3 × 3 × 3 × 3
320320 = 64 × 52 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5
1411 + 4 + 1 = 6, अतः 3 से विभाजित होती है: 141 = 3 × 473 × 47
17281728 = 64 × 272 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
729729 = 27 × 273 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
10241024 = 2 × 512 = 2 × 2 × 256 = …2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
13311331 = 11 × 121 = 11 × 11 × 1111 × 11 × 11
10001000 = 10 × 10 × 10 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
जाँच: 26 = 64 ✔   3 × 5 × 7 = 105 ✔   35 = 243 ✔   64 × 5 = 320 ✔
3 × 47 = 141 ✔   64 × 27 = 1728 ✔   36 = 729 ✔   210 = 1024 ✔
11 × 11 × 11 = 1331 ✔   8 × 125 = 1000 ✔
141 के लिए संकेत: कोई संख्या 3 से विभाज्य तभी होती है जब उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। यहाँ 1 + 4 + 1 = 6, अतः 141 = 3 × 47, और 47 अभाज्य है।
ध्यान दीजिए: इसी प्रश्न में अंग्रेज़ी संस्करण में एक संख्या 104 और दी गई है। उसका अभाज्य गुणनखंडन है 104 = 8 × 13 = 2 × 2 × 2 × 13।
प्र2.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?
उत्तर

अभाज्य संख्याओं को उतनी ही बार गुणा कर दीजिए जितनी बार वे आती हैं।

संख्या = 2 × 3 × 3 × 11
= 2 × 9 × 11
= 18 × 11
= 198

उत्तर: 198।

जाँच: 198 = 2 × 99 = 2 × 9 × 11 = 2 × 3 × 3 × 11 ✔ — एक बार 2, दो बार 3 तथा एक बार 11, ठीक जैसा पूछा गया था।
प्र3.
30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जिनका गुणनफल 1955 हो?
उत्तर

1955 को चरण दर चरण तोड़िए। यह 5 पर समाप्त होती है, अतः 5 से आरंभ कीजिए।

1955 ÷ 5 = 391
अब 391 को तोड़िए। यह विषम है, 3 + 9 + 1 = 13 (3 का गुणज नहीं), और 0 या 5 पर समाप्त नहीं होती।
7 से → नहीं। 11 से → नहीं। 13 से → नहीं। 17 से → 391 ÷ 17 = 23 ✔
और 23 अभाज्य है।
1955 = 5 × 17 × 23

तीनों — 5, 17 तथा 23 — अभाज्य हैं और तीनों 30 से छोटी हैं। ✔

जाँच: 17 × 23 = 391, तथा 391 × 5 = 1955 ✔
प्र4.
बिना गुणा किए निम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए— a. 56 × 25 b. 108 × 75 c. 1000 × 81
उत्तर

प्रत्येक भाग का अलग-अलग गुणनखंडन कीजिए और फिर दोनों सूचियाँ साथ-साथ लिख दीजिए — बड़ी गुणा करने की आवश्यकता ही नहीं।

a. 56 × 25
56 = 2 × 2 × 2 × 7    25 = 5 × 5
56 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
b. 108 × 75
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3    75 = 3 × 5 × 5
108 × 75 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
c. 1000 × 81
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5    81 = 3 × 3 × 3 × 3
1000 × 81 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
चाहें तो जाँच लीजिए: 56 × 25 = 1400 तथा 8 × 25 × 7 = 1400 ✔; 108 × 75 = 8100 तथा 4 × 81 × 25 = 8100 ✔; 1000 × 81 = 81000 तथा 8 × 81 × 125 = 81000 ✔
प्र5.
वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिसके अभाज्य गुणनखण्डन में a. तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हों। b. चार अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
उत्तर

उत्तर को छोटे से छोटा रखने के लिए सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ लीजिए और प्रत्येक को केवल एक बार प्रयोग कीजिए।

a. सबसे छोटी तीन अभाज्य → 2, 3, 5
2 × 3 × 5 = 30
b. सबसे छोटी चार अभाज्य → 2, 3, 5, 7
2 × 3 × 5 × 7 = 30 × 7 = 210
इससे छोटी संख्या क्यों नहीं हो सकती: संख्या में तीन (या चार) अलग-अलग अभाज्य होने ही चाहिए। 2, 3, 5, 7 में से किसी के स्थान पर बड़ी अभाज्य लेने से गुणनफल बढ़ ही जाएगा, और किसी अभाज्य को दोहराने से भी संख्या बड़ी होगी पर नई अभाज्य नहीं जुड़ेगी। अतः 30 और 210 ही सबसे छोटी हैं।
प्रयास करें: पैटर्न आगे बढ़ाइए — पाँच अलग अभाज्य वाली सबसे छोटी संख्या है 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ