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गणित प्रकाश अध्याय 5 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या निम्नलिखित संख्या युग्म सह-अभाज्य संख्याएँ हैं? पहले अनुमान लगाइए फिर अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करके अपने उत्तर की जाँच कीजिए। a. 30 और 45 b. 57 और 85 c. 121 और 1331 d. 343 और 216
उत्तर
युग्मअभाज्य गुणनखंडनसार्व अभाज्य गुणनखंडसह-अभाज्य?
a. 30 और 4530 = 2 × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5		3 तथा 5नहीं
b. 57 और 8557 = 3 × 19
85 = 5 × 17		कोई नहींहाँ ✔
c. 121 और 1331121 = 11 × 11
1331 = 11 × 11 × 11		11नहीं
d. 343 और 216343 = 7 × 7 × 7
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3		कोई नहींहाँ ✔
जाँच: 3 × 19 = 57 ✔   5 × 17 = 85 ✔   7 × 7 × 7 = 343 ✔   6 × 6 × 6 = 216 ✔
पहले अनुमान इस प्रकार लगाइए: 30 और 45 दोनों 5 के पहाड़े में हैं, अतः वे सह-अभाज्य हो ही नहीं सकतीं। 121 और 1331 दोनों 11 की घातें हैं। और 343 = 73 विषम है जबकि 216 = 63 सम — यह संकेत है कि इनमें कुछ साझा नहीं है।
प्र2.
क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग कीजिए। a. 225 और 27 b. 96 और 24 c. 343 और 17 d. 999 और 99
उत्तर

पहली संख्या दूसरी से तभी विभाजित होगी जब दूसरी का पूरा अभाज्य गुणनखंडन पहली के गुणनखंडन में समाया हुआ हो।

भागअभाज्य गुणनखंडनक्या दूसरी संख्या सम्मिलित है?विभाजित होती है?
a. 225 ÷ 27225 = 3 × 3 × 5 × 5
27 = 3 × 3 × 3		27 को तीन 3 चाहिए, 225 में केवल दो हैंनहीं
b. 96 ÷ 2496 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3		हाँ — 96 = (2 × 2 × 2 × 3) × 2 × 2हाँ ✔ (96 ÷ 24 = 4)
c. 343 ÷ 17343 = 7 × 7 × 7
17 = 17		343 में 17 है ही नहींनहीं
d. 999 ÷ 99999 = 3 × 3 × 3 × 37
99 = 3 × 3 × 11		999 में 11 नहीं हैनहीं
भाग देकर जाँच: 225 ÷ 27 = 8, शेष 9 ✘    96 ÷ 24 = 4, शेष 0 ✔
343 ÷ 17 = 20, शेष 3 ✘    999 ÷ 99 = 10, शेष 9 ✘
भाग (a) को ध्यान से देखिए: 225 और 27, दोनों केवल 3 और 5 से बनी हैं, इसलिए पहली दृष्टि में लगता है कि भाग चल जाएगा। परंतु यह भी देखना पड़ता है कि कोई अभाज्य कितनी बार आया है। 27 को तीन बार 3 चाहिए और 225 केवल दो बार दे सकती है — अतः भाग पूरा नहीं होता।
प्र3.
पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2×3×7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3×7×11 है। क्या ये दोनों सह-अभाज्य संख्याएँ हैं? क्या इनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित करती है?
उत्तर
पहली संख्या = 2 × 3 × 7 = 42
दूसरी संख्या = 3 × 7 × 11 = 231

क्या ये सह-अभाज्य हैं? नहीं। इनमें अभाज्य 3 तथा 7 साझा हैं, अतः 3, 7 और 21 — तीनों उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।

क्या एक दूसरी को विभाजित करती है? नहीं, कोई भी दूसरी को विभाजित नहीं करती।

क्या 42, संख्या 231 को विभाजित करती है? 42 को एक 2 चाहिए, पर 231 = 3 × 7 × 11 में 2 है ही नहीं → नहीं
क्या 231, संख्या 42 को विभाजित करती है? 231 को एक 11 चाहिए, पर 42 = 2 × 3 × 7 में 11 नहीं है → नहीं
(वैसे भी 231, संख्या 42 से बड़ी है, अतः वह उसे विभाजित कर ही नहीं सकती।)
जाँच: 231 ÷ 42 = 5, शेष 21 ✘
दोनों जाँचों का अंतर याद रखिए: सह-अभाज्यता के लिए हम पूछते हैं — “क्या कोई अभाज्य साझा है?”; और विभाज्यता के लिए — “क्या पूरा गुणनखंडन समाया हुआ है?” दो संख्याओं में कुछ अभाज्य साझा होते हुए भी वे एक-दूसरे को विभाजित नहीं करतीं — ठीक जैसा यहाँ हुआ।
प्र4.
गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।” क्या वह सही है?
उत्तर

हाँ, गुणा सही है — बशर्ते दोनों अभाज्य संख्याएँ अलग-अलग हों।

किसी अभाज्य प के गुणनखंड → केवल 1 और प
किसी अन्य अभाज्य क के गुणनखंड → केवल 1 और क
चूँकि प ≠ क, अतः दोनों में साझा गुणनखंड केवल 1 है → सह-अभाज्य ✔

उदाहरण—

2 और 3 → उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 1 ✔
3 और 11 → उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 1 ✔
17 और 89 → उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 1 ✔
एक अपवाद ध्यान में रखिए: यदि दोनों अभाज्य संख्याएँ एक ही हों, जैसे 5 और 5, तो 5 उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड बन जाता है और वे सह-अभाज्य नहीं होतीं। अतः सही कथन है — कोई भी दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।
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