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गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
10 के कुछ प्रारंभिक गुणज इस प्रकार हैं— 10, 20, 30, 40... क्या संख्या 125 संख्या 10 का गुणज है? क्या पिछले अनुक्रम में यह संख्या दिखाई देती है? क्यों या क्यों नहीं? क्या अब आप बता सकते हैं कि 8560 संख्या 10 से विभाजित है?
उत्तर

125, संख्या 10 का गुणज नहीं है और वह उस अनुक्रम में कभी दिखाई नहीं देगी।

10, 20, 30, …, 110, 120, 130, 140, … — सूची 120 से सीधे 130 पर चली जाती है
125 ÷ 10 = 12, शेषफल 5

कारण: 10 का प्रत्येक गुणज 0 पर समाप्त होता है, क्योंकि 10 से गुणा करने पर इकाई के स्थान पर शून्य आ जाता है। परंतु 125, अंक 5 पर समाप्त होती है, अतः वह इस सूची में आ ही नहीं सकती।

क्या 8560, संख्या 10 से विभाजित है? हाँ।

8560 का अंतिम अंक 0 है → 8560 = 856 × 10 → 8560 ÷ 10 = 856, शेषफल 0 ✔
प्र2.
इस कथन पर विचार कीजिए— जो संख्याएँ 10 से विभाजित होती हैं वे ‘0’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप इससे सहमत हैं?
उत्तर

हाँ, हम पूरी तरह सहमत हैं। यह बात दोनों ओर से सही है।

  • 10 का प्रत्येक गुणज 0 पर समाप्त होता है — क्योंकि 10 से गुणा करने पर हर अंक एक स्थान बाईं ओर खिसक जाता है और इकाई के स्थान पर 0 आ जाता है। 7 × 10 = 70, 43 × 10 = 430।
  • 0 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक संख्या 10 की गुणज है — अंतिम 0 हटा दीजिए, शेष संख्या ही भागफल है। 2560 = 256 × 10।
0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ → 10, 40, 90, 250, 8560 → सभी 10 से विभाज्य ✔
0 पर समाप्त न होने वाली → 125, 682, 8536 → कोई भी 10 से विभाज्य नहीं ✘
इसके पीछे का कारण: किसी भी संख्या को (अंतिम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप में लिखा जा सकता है। पहला भाग तो पहले से ही 10 का गुणज है, अतः पूरी संख्या 10 की गुणज तभी होगी जब इकाई का अंक 0 हो।
प्र3.
5 के गुणजों, जैसे— 5, 10, 15, 20, 25, ... की सूची बनाकर इसकी खोज कीजिए। इन संख्याओं में आप क्या देखते हैं? क्या आप इनके अंतिम अंक में कोई पैटर्न देखते हैं? 399 से छोटी सबसे बड़ी संख्या क्या है जो 5 से विभाजित होती है? क्या 8560 संख्या 10 से विभाजित होती है?
उत्तर

5 के गुणज लिखिए और उनका अंतिम अंक देखिए—

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

अंतिम अंक सदैव 0 या 5 रहता है, बारी-बारी से।

399 से छोटी, 5 से विभाजित होने वाली सबसे बड़ी संख्या = 395।

399 ÷ 5 = 79, शेषफल 4 → 5 × 79 = 395
(400 भी 5 का गुणज है, पर वह 399 से बड़ा है।)

क्या 8560, संख्या 10 से विभाजित होती है? हाँ — क्योंकि यह 0 पर समाप्त होती है।

8560 ÷ 10 = 856, शेषफल 0 ✔
ध्यान दीजिए: अंग्रेज़ी संस्करण में यहाँ पूछा गया है — “क्या 8560, संख्या 5 से विभाजित है?” उसका उत्तर भी हाँ है: 8560 का अंतिम अंक 0 है, अतः 8560 ÷ 5 = 1712, शेषफल 0 ✔
प्र4.
कथन पर विचार कीजिए— जो संख्याएँ 5 से विभाजित होती हैं वे या तो ‘0’ पर समाप्त होती हैं या ‘5’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप सहमत हैं?
उत्तर

हाँ, हम सहमत हैं।

0 या 5 पर समाप्त → 25, 60, 195, 395, 8560 → सभी 5 से विभाज्य ✔
किसी अन्य अंक पर समाप्त → 78, 99, 173, 572, 8536 → कोई भी 5 से विभाज्य नहीं ✘
यह सही क्यों है: संख्या को (अंतिम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप में लिखिए। 10 स्वयं 5 का गुणज है, अतः पहला भाग सदैव 5 का गुणज रहता है। इसलिए पूरी संख्या 5 की गुणज तभी होगी जब इकाई का अंक 5 का गुणज हो — और अंकों 0 से 9 में केवल 0 तथा 5 ही 5 के गुणज हैं।
संकेत: ध्यान दीजिए कि यही तर्क 10 और 5, दोनों की जाँच समझा देता है। दोनों के लिए केवल अंतिम अंक महत्व रखता है, क्योंकि 10 स्वयं 10 और 5 दोनों से विभाजित होता है।
प्र5.
2 के कुछ प्रारंभिक गुणज 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … हैं। आप यहाँ क्या देखते हैं? क्या इनके अंतिम अंक में आपको कोई पैटर्न दिखता है? क्या संख्या 682, 2 से विभाजित होती है? क्या हम इसका उत्तर बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया के दे सकते हैं? क्या संख्या 8560, 2 से विभाजित होती है? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

2 के गुणजों के अंतिम अंक देखिए—

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …

अंतिम अंक सदैव 0, 2, 4, 6, 8 में से ही कोई एक होता है और यह चक्र पाँच-पाँच पर दोहराता है।

क्या 682, संख्या 2 से विभाजित होती है? हाँ — और इसके लिए लंबी भाग-विधि की आवश्यकता नहीं।

682 का अंतिम अंक 2 है, जो सम है → 682 ÷ 2 = 341, शेषफल 0 ✔

क्या 8560, संख्या 2 से विभाजित होती है? हाँ, क्योंकि यह 0 पर समाप्त होती है।

8560 ÷ 2 = 4280, शेषफल 0 ✔
प्र6.
इस कथन पर विचार कीजिए— जो संख्याएँ 2 से विभाजित होती हैं वे ‘0’, ‘2’, ‘4’, ‘6’ या ‘8’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप इससे सहमत हैं? 399 और 411 के बीच 2 के सभी गुणज क्या हैं?
उत्तर

हाँ, हम सहमत हैं — ये ठीक-ठीक सम संख्याएँ ही हैं।

कारण: संख्या को फिर से (अंतिम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप में लिखिए। 10 सम है, अतः पहला भाग सदैव सम रहता है। इसलिए संख्या सम तभी होगी जब उसका इकाई अंक सम हो — अर्थात् 0, 2, 4, 6 या 8।

399 और 411 के बीच 2 के गुणज:

400, 402, 404, 406, 408 तथा 410

अर्थात् छह संख्याएँ — इस अंतराल में एक छोड़कर एक।

जाँच: 400 ÷ 2 = 200, 402 ÷ 2 = 201, 404 ÷ 2 = 202, 406 ÷ 2 = 203, 408 ÷ 2 = 204, 410 ÷ 2 = 205। ✔
प्र7.
330 और 340 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। साथ ही, 1730 और 1740, तथा 2030 और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं? क्या 8536 संख्या 4 से विभाज्य है?
उत्तर
संख्याओं का अंतराल4 से विभाज्यअंतिम दो अंक
330 और 340 के बीच332, 33632, 36
1730 और 1740 के बीच1732, 173632, 36
2030 और 2040 के बीच2032, 203632, 36

हम क्या देखते हैं: तीनों अंतरालों में वही दो अंत आते हैं — 32 और 36। आगे के अंकों से कोई अंतर नहीं पड़ता। अतः 4 से विभाज्यता केवल अंतिम दो अंकों से तय होती है।

क्या 8536, संख्या 4 से विभाज्य है? हाँ।

अंतिम दो अंक = 36, और 36 ÷ 4 = 9 ✔
अतः 8536 ÷ 4 = 2134, शेषफल 0 ✔
सावधान: 4 के लिए केवल एक अंतिम अंक देखना व्यर्थ है। 12 और 22, दोनों 2 पर समाप्त होती हैं, पर 12, 4 का गुणज है और 22 नहीं।
प्र8.
इन कथनों पर विचार कीजिए— 1. किसी संख्या की 4 से विभाज्यता का निर्धारण करते समय उस संख्या के केवल अंतिम दो अंक महत्व रखते हैं। 2. यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती है तो वह मूल संख्या भी 4 से विभाजित होती है। 3. यदि कोई संख्या 4 से विभाजित होती है तो उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या भी 4 से विभाजित होती है। क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

हाँ — तीनों कथन सत्य हैं।

कारण: किसी भी संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है—
संख्या = (आगे वाला भाग) × 100 + (अंतिम दो अंक)
और 100 = 4 × 25, अतः पहला भाग सदैव 4 का गुणज होता है, चाहे आगे के अंक कुछ भी हों। इसलिए पूरी संख्या 4 की गुणज तभी होगी जब अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 की गुणज हो — तीनों कथन यही कहते हैं।
8536 = 85 × 100 + 36 = 85 × (4 × 25) + (4 × 9) = 4 × (2125 + 9) = 4 × 2134 ✔
4028 = 40 × 100 + 28 → 28 ÷ 4 = 7 ✔    364 = 3 × 100 + 64 → 64 ÷ 4 = 16 ✔
परंतु 8542 → अंतिम दो अंक 42, और 42 ÷ 4 में शेषफल 2 → 8542, संख्या 4 से विभाज्य नहीं ✘
प्रयास करें: कोई भी चार अंकों की संख्या लीजिए, अंतिम दो अंक वही रखिए और पहले दो अंक अपनी इच्छा से बदलिए — 1132, 5532, 9932। सभी 4 से विभाज्य ही रहेंगी, क्योंकि 32 विभाज्य है।
प्र9.
120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। साथ ही 1120 और 1140 तथा 3120 और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं? 8560 के अंतिम दो अंक इस प्रकार बदलिए ताकि परिणामी संख्या 8 का गुणज हो।
उत्तर
संख्याओं का अंतराल8 से विभाज्यअंतिम तीन अंक
120 और 140 के बीच128, 136128, 136
1120 और 1140 के बीच1128, 1136128, 136
3120 और 3140 के बीच3128, 3136128, 136

हम क्या देखते हैं: हर बार वही दो अंत आते हैं — 128 और 136। हज़ार के अंक से कोई अंतर नहीं पड़ता। अतः 8 से विभाज्यता केवल अंतिम तीन अंकों से तय होती है।

8560 के अंतिम दो अंक बदलना:

8560 → अंतिम तीन अंक 560, और 560 ÷ 8 = 70
अर्थात् 8560 पहले से ही 8 का गुणज है (8560 = 8 × 1070)।

यदि अंतिम दो अंक बदलने ही हों, तो अनेक विकल्प हैं — बस अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 की गुणज रहनी चाहिए—

8504, 8512, 8520, 8528, 8536, 8544, 8552, 8568, 8576, 8584, 8592
उदाहरण के लिए 8552 = 8 × 1069 ✔   तथा   8536 = 8 × 1067 ✔
ध्यान दीजिए: पुस्तक के अंत में दिया उत्तर 8552 सही है — पर यह जानना भी रोचक है कि 8560 स्वयं भी 8 से विभाज्य थी।
प्र10.
इन कथनों पर विचार करें— 1. दी गई संख्या 8 से विभाज्य है, यह पता करने के लिए केवल अंतिम 3 अंक ही महत्व रखते हैं। 2. यदि अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है तो वह मूल संख्या भी 8 से विभाज्य होगी। 3. यदि मूल संख्या 8 से विभाज्य है, तो उसके अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होगी। क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर

हाँ — तीनों कथन सत्य हैं।

कारण: संख्या को इस प्रकार लिखिए—
संख्या = (आगे वाला भाग) × 1000 + (अंतिम तीन अंक)
और 1000 = 8 × 125, अतः पहला भाग सदैव 8 का गुणज होता है। आगे के अंक उत्तर को बदल ही नहीं सकते — केवल अंतिम तीन अंक ही निर्णय करते हैं।
8576 = 8 × 1000 + 576 → 576 ÷ 8 = 72 ✔
7648 = 7 × 1000 + 648 → 648 ÷ 8 = 81 ✔
5024 = 5 × 1000 + 024 → 24 ÷ 8 = 3 ✔
परंतु 8570 → 570 ÷ 8 में शेषफल 2 → 8570, संख्या 8 से विभाज्य नहीं ✘
पैटर्न देखिए: 10 = 10 × 1 → 10 और 5 के लिए एक अंक; 100 = 4 × 25 → 4 के लिए दो अंक; 1000 = 8 × 125 → 8 के लिए तीन अंक। भाजक जितनी बार दुगना होता है, उतने ही अधिक अंक देखने पड़ते हैं।
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