एक अभाज्य पहेली — बाईं ओर का चित्र एक पहेली दर्शाता है। दाहिनी ओर का चित्र उस पहेली का हल है। सोचिए पहेली सुलझाने के क्या नियम हो सकते हैं? पहेली 75 42 102 170 30 63 पहेली का हल 5 5 3 75 2 3 7 42 17 2 3 102 170 30 63 पृष्ठ 127 की अभाज्य पहेली — बाईं ओर खाली ग्रिड, दाईं ओर वही ग्रिड भरा हुआ।

दोनों चित्रों की तुलना करते ही नियम स्पष्ट हो जाते हैं— नियम: 3 × 3 के ग्रिड को केवल अभाज्य संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि प्रत्येक पंक्ति की तीनों संख्याओं का गुणनफल उस पंक्ति के दाईं ओर लिखी संख्या के बराबर हो, तथा प्रत्येक स्तंभ की तीनों संख्याओं का गुणनफल उस स्तंभ के नीचे लिखी संख्या के बराबर हो। पुस्तक में दिए हल किए गए उदाहरण की जाँच कीजिए— स्तंभ 1 स्तंभ 2 स्तंभ 3 पंक्ति का गुणनफल पंक्ति 1 5 5 3 5 × 5 × 3 = 75 ✔ पंक्ति 2 2 3 7 2 × 3 × 7 = 42 ✔ पंक्ति 3 17 2 3 17 × 2 × 3 = 102 ✔ स्तंभ का गुणनफल 5 × 2 × 17 = 170 ✔ 5 × 3 × 2 = 30 ✔ 3 × 7 × 3 = 63 ✔ हल करना कहाँ से आरंभ करें: प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए। यदि कोई गुणनफल ठीक तीन अभाज्य संख्याओं का गुणा हो — जैसे 102 = 2 × 3 × 17 — तो वह पंक्ति या स्तंभ तुरंत निश्चित हो जाता है और शेष अपने आप बनता चला जाता है। एक उपयोगी जाँच: तीनों पंक्तियों के गुणनफलों का गुणा और तीनों स्तंभों के गुणनफलों का गुणा बराबर होना चाहिए, क्योंकि दोनों वही नौ संख्याएँ गिनते हैं।

कक्षा ६ गणित अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-19

प्र1.

इस बॉक्स में चार संख्याएँ हैं — 9, 16, 25, 43। आपको कौन-सी संख्या विशेष लगती है? आपको ऐसा क्यों लगता है?

उत्तर

चारों में से हर संख्या को विशेष कहा जा सकता है — यह इस पर निर्भर करता है कि आप क्या देख रहे हैं। नीचे गुणा के सहपाठियों के कारण तथा कुछ और कारण दिए गए हैं।

संख्या	यह विशेष क्यों है
9	एकमात्र एक अंकीय संख्या। 3 की एकमात्र गुणज। यहाँ 10 से छोटी एकमात्र संख्या।
16	एकमात्र सम संख्या। 4 की एकमात्र गुणज। 2 की एकमात्र घात। यहाँ एकमात्र संख्या जिसके पाँच गुणनखंड हैं (1, 2, 4, 8, 16)।
25	5 की एकमात्र गुणज। एकमात्र संख्या जो 5 पर समाप्त होती है।
43	एकमात्र अभाज्य संख्या। एकमात्र संख्या जो पूर्ण वर्ग नहीं है (9 = 3², 16 = 4², 25 = 5²)।

प्रश्न का उद्देश्य: यहाँ कोई एक “सही” उत्तर नहीं है। जो गुण चारों में से केवल एक ही संख्या में हो, वह उस संख्या को विशेष बना देता है। मज़ा इसी में है कि आप ऐसा कारण खोजें जो कक्षा में और किसी ने न सोचा हो।

प्र2.

नीचे कुछ बॉक्स हैं, जिनमें प्रत्येक बॉक्स में चार संख्याएँ हैं। प्रत्येक बॉक्स के लिए यह कहने का प्रयास कीजिए कि प्रत्येक संख्या अन्य की तुलना में किस प्रकार विशेष है। अपने सहपाठियों के साथ साझा कीजिए और पता लगाइए कि किसने वही कारण बताए जो आपने दिए। क्या किसी ने अलग कारण बताए जो शायद आपने न सोचे हों?

उत्तर

बॉक्स 1 — 5, 7, 12, 35

5 — यहाँ सबसे छोटी संख्या; एकमात्र संख्या जो 25 की गुणनखंड है; और एकमात्र संख्या जिसका अंक बॉक्स की किसी दूसरी संख्या में भी दिखता है (35 का 5)।
7 — एकमात्र संख्या जो 49 की गुणनखंड है; इसका अंक बॉक्स की किसी अन्य संख्या में नहीं आता।
12 — एकमात्र सम संख्या; 3 की एकमात्र गुणज; एकमात्र संख्या जो 35 की गुणनखंड नहीं बन सकती।
35 — एकमात्र विषम भाज्य संख्या; और एकमात्र संख्या जो बॉक्स की दो अन्य संख्याओं का गुणनफल है (35 = 5 × 7)।

बॉक्स 2 — 3, 8, 11, 24

3 — एकमात्र विषम एक अंकीय संख्या; यहाँ सबसे छोटी संख्या।
8 — एकमात्र पूर्ण घन (8 = 2 × 2 × 2); 2 की एकमात्र घात।
11 — एकमात्र संख्या जो 24 की गुणनखंड नहीं है; यहाँ एकमात्र दो अंकीय अभाज्य।
24 — सबसे बड़ी संख्या; एकमात्र संख्या जिसके चार से अधिक गुणनखंड हैं; तथा दो अन्य संख्याओं का गुणनफल (24 = 3 × 8)।

बॉक्स 3 — 27, 3, 123, 31

27 — एकमात्र पूर्ण घन (3 × 3 × 3); 9 की एकमात्र गुणज।
3 — एकमात्र एक अंकीय संख्या; 27 तथा 123, दोनों की गुणनखंड।
123 — एकमात्र तीन अंकीय संख्या; एकमात्र संख्या जिसके अंक क्रमागत हैं।
31 — एकमात्र संख्या जो 3 की गुणज नहीं है (27, 3 तथा 123 — तीनों हैं, क्योंकि 1 + 2 + 3 = 6)।

बॉक्स 4 — 17, 27, 44, 65

17 — एकमात्र अभाज्य संख्या।
27 — 3 की एकमात्र गुणज; एकमात्र पूर्ण घन भी।
44 — एकमात्र सम संख्या; एकमात्र संख्या जिसके दोनों अंक समान हैं।
65 — 5 की एकमात्र गुणज; यहाँ सबसे बड़ी संख्या।

गणित चर्चा: अपनी सूची मित्र की सूची से मिलाइए। खोजने योग्य अच्छे गुण हैं — सम या विषम, अभाज्य या भाज्य, वर्ग या घन, 3 या 5 का गुणज, अंकों की संख्या तथा गुणनखंडों की संख्या।

प्र3.

एक अभाज्य पहेली — बाईं ओर का चित्र एक पहेली दर्शाता है। दाहिनी ओर का चित्र उस पहेली का हल है। सोचिए पहेली सुलझाने के क्या नियम हो सकते हैं?

पहेली

			75
			42
			102
170	30	63

पहेली का हल

5	5	3	75
2	3	7	42
17	2	3	102
170	30	63

पृष्ठ 127 की अभाज्य पहेली — बाईं ओर खाली ग्रिड, दाईं ओर वही ग्रिड भरा हुआ।

उत्तर

दोनों चित्रों की तुलना करते ही नियम स्पष्ट हो जाते हैं—

नियम: 3 × 3 के ग्रिड को केवल अभाज्य संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि

प्रत्येक पंक्ति की तीनों संख्याओं का गुणनफल उस पंक्ति के दाईं ओर लिखी संख्या के बराबर हो, तथा
प्रत्येक स्तंभ की तीनों संख्याओं का गुणनफल उस स्तंभ के नीचे लिखी संख्या के बराबर हो।

पुस्तक में दिए हल किए गए उदाहरण की जाँच कीजिए—

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति का गुणनफल
पंक्ति 1	5	5	3	5 × 5 × 3 = 75 ✔
पंक्ति 2	2	3	7	2 × 3 × 7 = 42 ✔
पंक्ति 3	17	2	3	17 × 2 × 3 = 102 ✔
स्तंभ का गुणनफल	5 × 2 × 17 = 170 ✔	5 × 3 × 2 = 30 ✔	3 × 7 × 3 = 63 ✔

हल करना कहाँ से आरंभ करें: प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए। यदि कोई गुणनफल ठीक तीन अभाज्य संख्याओं का गुणा हो — जैसे 102 = 2 × 3 × 17 — तो वह पंक्ति या स्तंभ तुरंत निश्चित हो जाता है और शेष अपने आप बनता चला जाता है। एक उपयोगी जाँच: तीनों पंक्तियों के गुणनफलों का गुणा और तीनों स्तंभों के गुणनफलों का गुणा बराबर होना चाहिए, क्योंकि दोनों वही नौ संख्याएँ गिनते हैं।

प्र4.

नियम— ग्रिड को केवल अभाज्य संख्याओं से भरिए ताकि प्रत्येक पंक्ति का गुणनफल पंक्ति के दाईं ओर की संख्या हो और प्रत्येक स्तंभ का गुणनफल स्तंभ के नीचे की संख्या हो। (पृष्ठ 127 और 128 पर चार पहेलियाँ दी गई हैं।)

(i)

			105
			20
			30
28	125	18

(ii)

			8
			105
			70
30	70	28

(iii)

			63
			27
			190
45	42	171

(iv)

			343
			66
			44
28	154	231

पृष्ठ 127 और 128 पर दी गई चार पहेलियाँ।

उत्तर

पहले हर गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए, फिर ऐसी पंक्ति या स्तंभ ढूँढ़िए जो निश्चित हो जाए।

पहेली 1 — पंक्तियाँ 105, 20, 30; स्तंभ 28, 125, 18

125 = 5 × 5 × 5 → पूरा बीच का स्तंभ 5, 5, 5 होगा
पंक्ति 2: ? × 5 × ? = 20 → शेष दोनों का गुणा 4 → दोनों 2
स्तंभ 3: ? × 2 × ? = 18 → शेष दोनों का गुणा 9 → दोनों 3
पंक्ति 1: ? × 5 × 3 = 105 → पहली प्रविष्टि = 7 पंक्ति 3: ? × 5 × 3 = 30 → पहली प्रविष्टि = 2

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति का गुणनफल
पंक्ति 1	7	5	3	105
पंक्ति 2	2	5	2	20
पंक्ति 3	2	5	3	30
स्तंभ	7 × 2 × 2 = 28	5 × 5 × 5 = 125	3 × 2 × 3 = 18

पहेली 2 — पंक्तियाँ 8, 105, 70; स्तंभ 30, 70, 28

8 = 2 × 2 × 2 → पूरी पहली पंक्ति 2, 2, 2 होगी
अब स्तंभ 1: 2 × ? × ? = 30 → शेष का गुणा 15; स्तंभ 2 → 35; स्तंभ 3 → 14
पंक्ति 3 = 70 = 2 × 5 × 7, और इसका 2 केवल स्तंभ 3 में ही बैठ सकता है (14 = 2 × 7)

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति का गुणनफल
पंक्ति 1	2	2	2	8
पंक्ति 2	3	5	7	105
पंक्ति 3	5	7	2	70
स्तंभ	2 × 3 × 5 = 30	2 × 5 × 7 = 70	2 × 7 × 2 = 28

पहेली 3 — पंक्तियाँ 63, 27, 190; स्तंभ 45, 42, 171

27 = 3 × 3 × 3 → पूरी बीच की पंक्ति 3, 3, 3 होगी
190 = 2 × 5 × 19 में कोई 3 नहीं है, और 171 = 3 × 3 × 19 → अतः 19, पंक्ति 3 के स्तंभ 3 में आएगा

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति का गुणनफल
पंक्ति 1	3	7	3	63
पंक्ति 2	3	3	3	27
पंक्ति 3	5	2	19	190
स्तंभ	3 × 3 × 5 = 45	7 × 3 × 2 = 42	3 × 3 × 19 = 171

पहेली 4 — पंक्तियाँ 343, 66, 44; स्तंभ 28, 154, 231

343 = 7 × 7 × 7 → पूरी पहली पंक्ति 7, 7, 7 होगी
स्तंभ 1: 7 × ? × ? = 28 → शेष का गुणा 4 → दोनों 2
पंक्ति 2: 2 × ? × ? = 66 → शेष का गुणा 33; पंक्ति 3: 2 × ? × ? = 44 → शेष का गुणा 22

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति का गुणनफल
पंक्ति 1	7	7	7	343
पंक्ति 2	2	11	3	66
पंक्ति 3	2	2	11	44
स्तंभ	7 × 2 × 2 = 28	7 × 11 × 2 = 154	7 × 3 × 11 = 231

हर पहेली की जाँच इस प्रकार कीजिए: तीनों पंक्तियों के गुणनफलों का गुणा तथा तीनों स्तंभों के गुणनफलों का गुणा — दोनों बराबर आने चाहिए। पहेली 1: 105 × 20 × 30 = 63000 तथा 28 × 125 × 18 = 63000 ✔। पहेली 4: 343 × 66 × 44 = 996072 तथा 28 × 154 × 231 = 996072 ✔।

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