खोजिए और पता लगाइए कि कितने टुकड़ों का क्षेत्रफल एक समान है।
उत्तर
टुकड़ों को एक-दूसरे के ऊपर रखिए। सबसे छोटे त्रिभुज C को क्षेत्रफल की एक इकाई मानने पर सातों टुकड़े इस प्रकार हैं—
टैनग्राम का वर्ग: A और B दो बड़े त्रिभुज, F मध्यम त्रिभुज, C और E दो छोटे त्रिभुज, D वर्ग तथा G समांतर चतुर्भुज।
टुकड़ा
आकार
क्षेत्रफल (C = 1 मानकर)
A
बड़ा त्रिभुज
4
B
बड़ा त्रिभुज
4
C
छोटा त्रिभुज
1
D
वर्ग
2
E
छोटा त्रिभुज
1
F
मध्यम त्रिभुज
2
G
समांतर चतुर्भुज
2
उत्तर — बराबर क्षेत्रफल के तीन समूह हैं—
A और B का क्षेत्रफल समान है (प्रत्येक 4 इकाई)।
C और E का क्षेत्रफल समान है (प्रत्येक 1 इकाई)।
D, F और G तीनों का क्षेत्रफल समान है (प्रत्येक 2 इकाई), यद्यपि एक वर्ग है, एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज।
योग की जाँच: 4 + 4 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 16 इकाई — और सातों टुकड़े मिलकर एक बड़ा वर्ग बनाते हैं।
प्र2.
आकार D, आकार C की तुलना में कितने गुना बड़ा है? C, D और E में क्या संबंध है।
उत्तर
C और E को वर्ग D पर रखिए — वे उसे पूरा-पूरा ढक लेते हैं।
D का क्षेत्रफल = C का क्षेत्रफल + E का क्षेत्रफल
और C का क्षेत्रफल = E का क्षेत्रफल, अत:
D का क्षेत्रफल = 2 × C का क्षेत्रफल
उत्तर: आकार D, आकार C से दोगुना बड़ा है।
संबंध: C और E बराबर छोटे त्रिभुज हैं और अपनी सबसे बड़ी भुजाओं पर जुड़कर वर्ग D बनाते हैं। अत:
D = C + E तथा C = E = D का आधा
प्र3.
किस आकार का क्षेत्रफल अधिक है— आकार D या आकार F? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर
किसी का नहीं — D और F का क्षेत्रफल बिल्कुल बराबर है।
D का क्षेत्रफल = C + E = 1 + 1 = 2 इकाई
F का क्षेत्रफल = C + E = 1 + 1 = 2 इकाई
कारण: वर्ग D को दोनों छोटे त्रिभुज C और E पूरा ढक लेते हैं। मध्यम त्रिभुज F को भी वही दो त्रिभुज ढक लेते हैं — बस उन्हें छोटी भुजाओं पर जोड़कर रखिए। एक ही टुकड़ों से बनी दो आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर ही होगा।
मुख्य विचार: क्षेत्रफल आकार पर निर्भर नहीं करता। किसी आकृति को काटकर टुकड़ों को दुबारा जमाइए — क्षेत्रफल वही रहेगा, भले ही आकृति बिल्कुल अलग दिखे।
प्र4.
किस आकार का क्षेत्रफल अधिक है— आकार F या G का? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर
फिर किसी का नहीं — F और G का क्षेत्रफल बराबर है (प्रत्येक 2 इकाई)।
F (मध्यम त्रिभुज) = C + E = 2 इकाई
G (समांतर चतुर्भुज) = C + E = 2 इकाई
कारण: त्रिभुज F और समांतर चतुर्भुज G, दोनों को छोटे त्रिभुज C और E पूरा ढक लेते हैं। समांतर चतुर्भुज G को उसके छोटे विकर्ण पर काटिए तो दो छोटे त्रिभुज मिलेंगे; उन्हीं दोनों को दूसरी तरह जोड़ने पर F बन जाता है।
वर्ग से जाँच: D, F और G प्रत्येक 2 इकाई हैं, अत: मिलकर 6 इकाई — और 6 + 4 + 4 + 1 + 1 = 16, अर्थात् पूरा वर्ग ✔
प्र5.
आकार G की तुलना में आकार A का क्षेत्रफल कितना है? क्या यह दोगुना बड़ा है? क्या यह चार गुना बड़ा है?
उत्तर
A का क्षेत्रफल = 4 इकाई G का क्षेत्रफल = 2 इकाई
4 ÷ 2 = 2
उत्तर: आकार A, आकार G से ठीक दोगुना बड़ा है — चार गुना नहीं।
हाँ, आकार A छोटे त्रिभुज C से चार गुना बड़ा है, क्योंकि 4 ÷ 1 = 4। इसीलिए एक टुकड़े (C) को इकाई मानकर बाकी सबको उससे तोलना उपयोगी है।
तुलना
हल
उत्तर
A और G
4 ÷ 2
2 गुना
A और C
4 ÷ 1
4 गुना
A और B
4 ÷ 4
बराबर
प्र6.
क्या अब आप सातों टुकड़ों से बने बड़े वर्ग के क्षेत्रफल को C आकार के क्षेत्रफल के रूप में लिख सकते हैं?
उत्तर
सातों टुकड़ों को C की इकाइयों में जोड़ दीजिए।
A + B + C + D + E + F + G
= 4 + 4 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2
= 16 × आकार C का क्षेत्रफल
उत्तर: बड़े वर्ग का क्षेत्रफल 16 छोटे त्रिभुजों (16 C) के बराबर है।
सुंदर जाँच: 16 एक वर्ग संख्या है, 16 = 4 × 4 — और सचमुच बड़े वर्ग के आधे विकर्ण पर चार छोटे त्रिभुज C आ जाते हैं।
प्र7.
इन सातों टुकड़ों को व्यवस्थित करके एक आयत बनाइए। अब इस आयत का क्षेत्रफल, आकार ‘C’ के क्षेत्रफल के रूप में लिखने पर क्या प्राप्त होता है? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर
आयत का क्षेत्रफल भी 16 × आकार C का क्षेत्रफल ही होगा।
कारण: आयत उन्हीं सातों टुकड़ों से बना है। न कुछ जोड़ा गया, न हटाया गया, अत: घिरा हुआ कुल क्षेत्र बदल ही नहीं सकता। टुकड़ों को दुबारा जमाने से आकार बदलता है, क्षेत्रफल कभी नहीं।
वर्ग का क्षेत्रफल = 16 C
आयत का क्षेत्रफल = 16 C
अत: दोनों बराबर हैं
यह कीजिए: इन्हीं सात टुकड़ों से त्रिभुज, समलंब तथा अनेक पशु-पक्षी और मानव आकृतियाँ भी बनाई जा सकती हैं। इन सबका क्षेत्रफल 16 C ही रहेगा।
प्र8.
क्या इन सातों टुकड़ों से बने वर्ग और आयत के परिमाप भिन्न हैं या समान हैं? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
उत्तर
परिमाप भिन्न हैं — आयत की सीमा अधिक लंबी है, जबकि दोनों का क्षेत्रफल समान है।
व्याख्या: परिमाप इस बात पर निर्भर करता है कि टुकड़े कैसे रखे गए हैं, केवल इस पर नहीं कि वे कितना क्षेत्र घेरते हैं। वर्ग में टुकड़े सबसे सघन रूप से जमे होते हैं, इसलिए सीमा छोटी रहती है। उन्हीं टुकड़ों को लंबे आयत में फैलाने पर कुछ भुजाएँ बाहर आ जाती हैं और सीमा लंबी हो जाती है।
16 वर्ग इकाई क्षेत्रफल वाले साधारण आयतों में भी यही दिखता है—
आयत
क्षेत्रफल
परिमाप
4 × 4 (वर्ग)
16 वर्ग इकाई
16 इकाई
8 × 2
16 वर्ग इकाई
20 इकाई
16 × 1
16 वर्ग इकाई
34 इकाई
क्षेत्रफल हर बार समान, पर आकृति जितनी अधिक फैली हुई, परिमाप उतना ही अधिक। किसी दिए गए क्षेत्रफल की सभी आकृतियों में वर्ग जैसी आकृति का परिमाप सबसे कम होता है।
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