EN हिं

गणित प्रकाश अध्याय 6 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
एक आयत की विमाएँ बताइए जिसका क्षेत्रफल उन दो आयतों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा, जिनकी विमाएँ 5 मी. × 10 मी. और 2 मी. × 7 मी. हैं।
उत्तर

चरण 1 — दोनों क्षेत्रफल जोड़िए।

5 मी. × 10 मी. = 50 वर्ग मी.
2 मी. × 7 मी. = 14 वर्ग मी.
कुल = 50 + 14 = 64 वर्ग मी.

चरण 2 — इस क्षेत्रफल का आयत ढूँढ़िए। ऐसी कोई भी दो संख्याएँ चलेंगी जिनका गुणनफल 64 हो—

विमाएँक्षेत्रफलपरिमाप
8 मी. × 8 मी. (वर्ग)64 वर्ग मी.32 मी.
16 मी. × 4 मी.64 वर्ग मी.40 मी.
32 मी. × 2 मी.64 वर्ग मी.68 मी.
64 मी. × 1 मी.64 वर्ग मी.130 मी.

उत्तर: 8 मी. × 8 मी. सबसे सुंदर उत्तर है (16 मी. × 4 मी., 32 मी. × 2 मी. तथा 64 मी. × 1 मी. भी सही हैं)।

प्र2.
1000 वर्ग मी. क्षेत्रफल वाले आयताकार पार्क की लंबाई 50 मी. है, पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
1000 = 50 × चौड़ाई
चौड़ाई = 1000 ÷ 50 = 20 मी.

उत्तर: पार्क की चौड़ाई 20 मी. है।

स्वयं जाँचिए: 50 × 20 = 1000 ✔   आवश्यकता हो तो परिमाप = 2 × (50 + 20) = 140 मी.।
प्र3.
एक कमरे के फर्श की लंबाई 5 मी. तथा चौड़ाई 4 मी. है। 3 मी. भुजा वाले एक वर्गाकार कालीन को फर्श पर बिछाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर कालीन नहीं बिछा है।
उत्तर
फर्श का क्षेत्रफल = 5 मी. × 4 मी. = 20 वर्ग मी.
वर्गाकार कालीन का क्षेत्रफल = 3 मी. × 3 मी. = 9 वर्ग मी.
कालीन रहित क्षेत्रफल = 20 − 9 = 11 वर्ग मी.

उत्तर: फर्श का 11 वर्ग मी. भाग खुला रह जाता है।

घटाते क्यों हैं: कालीन फर्श का कुछ भाग ढक लेता है। जो बचता है वह “पूरा फर्श घटा कालीन” है। यही विचार तालाब वाले बाग, खिड़की वाली दीवार या झोपड़ी वाले खेत में भी काम आता है।
प्र4.
15 मी. लंबे और 12 मी. चौड़े एक पार्क के चारों कोनों को खोद कर फूलों की क्यारियाँ बनाई गई हैं, जिनकी लंबाई व चौड़ाई क्रमश: 2 मी. और 1 मी. है। एक लॉन बनाने के लिए अब कितना क्षेत्रफल उपलब्ध है?
उत्तर
पार्क का क्षेत्रफल = 15 मी. × 12 मी. = 180 वर्ग मी.
एक क्यारी का क्षेत्रफल = 2 मी. × 1 मी. = 2 वर्ग मी.
चारों क्यारियों का क्षेत्रफल = 4 × 2 = 8 वर्ग मी.
लॉन के लिए बचा क्षेत्रफल = 180 − 8 = 172 वर्ग मी.

उत्तर: लॉन बनाने के लिए 172 वर्ग मीटर क्षेत्रफल उपलब्ध है।

सावधानी: क्यारियाँ 2 मी. × 1 मी. के आयत हैं, वर्ग नहीं। प्रत्येक केवल 2 वर्ग मी. घेरती है।
प्र5.
आकृति A और आकृति B के परि‍माप का क्षेत्रफल क्रमश: 18 वर्ग इकाई और 20 वर्ग इकाई है। आकृति A का परिमाप आकृति B से बड़ा है। दी गई स्थिति को पूरा करती हुई दो आकृतियाँ बनाएँ।
उत्तर

हमें छोटे क्षेत्रफल वाली आकृति की सीमा लंबी रखनी है — यह संभव है, क्योंकि क्षेत्रफल और परिमाप एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। A को लंबा-पतला और B को वर्ग जैसा बनाइए।

आकृतिकैसे बनाएँक्षेत्रफलपरिमाप
A2 × 9 का आयत18 वर्ग इकाई2 × (2 + 9) = 22 इकाई
B4 × 5 का आयत20 वर्ग इकाई2 × (4 + 5) = 18 इकाई
क्षेत्रफल: 18 < 20 ✔     परिमाप: 22 > 18 ✔

अन्य सही युग्म: A = 1 × 18 (परिमाप 38) और B = 4 × 5 (परिमाप 18), अथवा A = 1 × 18 और B = 2 × 10 (परिमाप 24)।

प्रश्न में मुद्रण-त्रुटि: पुस्तक में “के परिमाप का क्षेत्रफल” छपा है; यहाँ आशय केवल क्षेत्रफल से है — आकृति A का क्षेत्रफल 18 वर्ग इकाई और आकृति B का 20 वर्ग इकाई। (अंग्रेज़ी संस्करण में भी यही अर्थ है।)
प्रश्न का मूल विचार: अधिक क्षेत्रफल का अर्थ अधिक परिमाप नहीं होता। आकृति को पतला खींचने पर सीमा लंबी हो जाती है, जबकि क्षेत्र छोटा ही रहता है।
प्र6.
अपनी पुस्तक के एक पृष्‍ठ पर एक आयताकार हाशिया (border) बनाएँ जो ऊपर और नीचे से 1 सेमी की दूरी पर हो और बाईं व दाईं ओर से 1.5 सेमी दूरी पर हो। हाशिये का परिमाप क्या होगा?
उत्तर

पहले अपना पृष्ठ मापिए, फिर हाशिये की दूरी घटाइए।

हाशिये की लंबाई = पृष्ठ की लंबाई − 1 सेमी − 1 सेमी = पृष्ठ की लंबाई − 2 सेमी
हाशिये की चौड़ाई = पृष्ठ की चौड़ाई − 1.5 सेमी − 1.5 सेमी = पृष्ठ की चौड़ाई − 3 सेमी

नमूना हल — 28 सेमी लंबे और 21 सेमी चौड़े पृष्ठ के लिए—

हाशिये का आयत = (28 − 2) सेमी × (21 − 3) सेमी = 26 सेमी × 18 सेमी
परिमाप = 2 × (26 + 18) = 2 × 44 = 88 सेमी

एक सुंदर छोटा रास्ता—

हाशिये का परिमाप = 2 × (ल − 2 + चौ − 3) = 2 × (ल + चौ) − 10
= पृष्ठ का परिमाप − 10 सेमी

अर्थात् पृष्ठ चाहे किसी भी माप का हो, हाशिये का परिमाप पृष्ठ के परिमाप से सदैव 10 सेमी कम होगा। अपनी पुस्तक का पृष्ठ मापकर इसी से अपना उत्तर निकालिए।

प्र7.
12 इकाई × 8 इकाई आकार का एक आयत बनाइए। इसके अंदर एक अन्य आयत बनाइए जो बाह्‌य आयत को स्पर्श न करता हो और केवल आधा क्षेत्रफल घेरता हो।
उत्तर
बाहरी आयत का क्षेत्रफल = 12 × 8 = 96 वर्ग इकाई
इसका आधा = 96 ÷ 2 = 48 वर्ग इकाई

अब 48 वर्ग इकाई का ऐसा आयत चुनिए जो चारों ओर जगह छोड़ दे। स्पर्श न करने के लिए उसकी लंबाई 12 से कम और चौड़ाई 8 से कम होनी चाहिए।

भीतरी आयतक्षेत्रफलबिना स्पर्श किए आता है?
8 × 648 वर्ग इकाईहाँ — बाएँ-दाएँ 2-2 इकाई और ऊपर-नीचे 1-1 इकाई जगह बचेगी
6 × 848 वर्ग इकाईनहीं — 8 पूरी चौड़ाई के बराबर है
10 × 4.848 वर्ग इकाईहाँ, पर भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं

उत्तर: बीच में 8 इकाई × 6 इकाई का आयत बनाइए। बाएँ-दाएँ 2-2 इकाई और ऊपर-नीचे 1-1 इकाई जगह छोड़िए, जिससे वह कहीं भी बाहरी आयत को स्पर्श न करे।

प्र8.
एक वर्गाकार कागज को आधा मोड़ा गया। फिर मोड़ से वर्ग को दो आयतों में काटा गया। वर्ग के आकार को न देखते हुए, निम्न में से एक कथन हमेशा सत्य होगा। यहाँ कौन-सा कथन सत्‍य है? a. प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल, वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा होगा। b. वर्ग का परिमाप, दोनों आयतों के परिमापों के योग से बड़ा होगा। c. दोनों आयतों के परिमाप को साथ जोड़ने पर वह हमेशा वर्ग के परिमाप के 1½ गुने के बराबर होगा। d. वर्ग का क्षेत्रफल हमेशा दोनों आयतों के क्षेत्रफलों को साथ जोड़ने पर प्राप्‍त क्षेत्रफल से तीन गुना बड़ा होगा।
उत्तर

कथन (c) सत्य है।

मान लीजिए वर्ग की भुजा s है। मोड़कर काटने पर दो आयत मिलते हैं, प्रत्येक s लंबा और s/2 चौड़ा। 8 सेमी भुजा के वर्ग से जाँचिए—

वर्ग (भुजा 8 सेमी)प्रत्येक आयत (8 सेमी × 4 सेमी)दोनों आयत
क्षेत्रफल64 वर्ग सेमी32 वर्ग सेमी64 वर्ग सेमी
परिमाप32 सेमी24 सेमी48 सेमी
48 ÷ 32 = 1½ ✔    अत: कथन (c) सही है।

बाकी कथन क्यों गलत हैं—

  • a — प्रत्येक आयत वर्ग का केवल आधा है (32 वर्ग सेमी बनाम 64 वर्ग सेमी), अत: वह छोटा है, बड़ा नहीं।
  • b — वर्ग का परिमाप 32 सेमी है और दोनों आयतों का मिलाकर 48 सेमी, जो अधिक है, कम नहीं। (काटने से दो नई भुजाएँ बन जाती हैं।)
  • d — दोनों आयतों का कुल क्षेत्रफल वर्ग के बराबर ही है, उसका एक-तिहाई नहीं।
व्यापक उपपत्ति: वर्ग की भुजा s → परिमाप 4s। प्रत्येक आयत s × s/2 → परिमाप 2(s + s/2) = 3s। दोनों मिलकर 6s, और 6s = 1½ × 4s। यह हर वर्ग के लिए सत्य है, जैसा प्रश्न में पूछा गया है।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ