गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

अपने आस-पास विभिन्न वस्तुएँ खोज‍िए जो कि सम आकृतियाँ हों और उनका परिमाप ज्ञात कीजिए। साथ ही अन्य सम बहुभुजों के परिमाप के लिए अपनी समझ को व्यापक (generalised) रूप द‍ीज‍िए।

उत्तर

सम आकृतियाँ हमारे चारों ओर हैं। पैमाने से एक भुजा मापिए और गुणा कीजिए।

वस्तु	सम आकृति	एक भुजा (लगभग)	परिमाप
कैरम बोर्ड	वर्ग	74 सेमी	4 × 74 = 296 सेमी
फर्श की टाइल	वर्ग	30 सेमी	4 × 30 = 120 सेमी
रुकने का यातायात चिह्न	सम अष्टभुज	25 सेमी	8 × 25 = 200 सेमी
मधुमक्खी के छत्ते का खाना	सम षट्भुज	6 मिमी	6 × 6 = 36 मिमी
वर्गाकार रूमाल	वर्ग	28 सेमी	4 × 28 = 112 सेमी
त्रिकोणीय स्केल (सेट-स्क्वेयर)	—	—	तीनों भुजाएँ जोड़िए

व्यापक रूप (सामान्य सूत्र)—

सम बहुभुज का परिमाप = n × s
जहाँ n = भुजाओं की संख्या और s = एक भुजा की लंबाई

पहले से ज्ञात सूत्रों से मिलाइए: n = 3 से 3 × s (समबाहु त्रिभुज), n = 4 से 4 × s (वर्ग), n = 6 से 6 × s (सम षट्भुज)। ✔

प्र2.

विभाजित कीज‍िए और फ‍िर से जोड़ि‍ए — एक आयताकार कागज की पर्ची, जिसकी विमाएँ 6 सेमी × 4 सेमी है, को दो बराबर टुकड़ों में काटा गया है। इन दोनों टुकड़ों को विभिन्न तरीकों से जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, व्यवस्था a. का परिमाप 28 सेमी है। नीचे दी गई अन्य सभी व्यवस्थाओं की सीमा की लंबाई (अर्थात् परिमाप) ज्ञात कीज‍िए।

उत्तर

6 सेमी × 4 सेमी की पर्ची दो बराबर टुकड़ों में कटी है, प्रत्येक 6 सेमी × 2 सेमी। हर व्यवस्था में दोनों टुकड़े प्रयोग होते हैं, केवल जुड़ी हुई भुजा की लंबाई बदलती है।

एक टुकड़े का परिमाप = 2 × (6 + 2) = 16 सेमी
अलग-अलग दो टुकड़े = 2 × 16 = 32 सेमी
जब वे L लंबाई की उभयनिष्ठ भुजा पर जुड़ते हैं, वह भुजा दो बार छिप जाती है—
परिमाप = 32 − 2 × L

दो 6 सेमी × 2 सेमी टुकड़ों की व्यवस्थाएँ b, c और d तथा (अंतिम) वह व्यवस्था जिसका परिमाप 22 सेमी है।

व्यवस्था	बनी आकृति	जुड़ी भुजा की लंबाई	परिमाप
a. (दी गई)	12 सेमी × 2 सेमी आयत	2 सेमी	32 − 4 = 28 सेमी
b.	L आकार	2 सेमी	32 − 4 = 28 सेमी
c.	T आकार	2 सेमी	32 − 4 = 28 सेमी
d.	Z / सीढ़ी आकार	3 सेमी	32 − 6 = 26 सेमी

b की जाँच सीमा पर चलकर: 8 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 = 28 सेमी ✔ d की जाँच: 2 + 3 + 2 + 6 + 2 + 3 + 2 + 6 = 26 सेमी ✔

क्षेत्रफल क्यों नहीं बदलता: हर व्यवस्था में वही दो टुकड़े हैं, अत: क्षेत्रफल सदैव 6 × 4 = 24 वर्ग सेमी रहता है। केवल परिमाप बदलता है — “समान क्षेत्रफल, भिन्न परिमाप” का सुंदर उदाहरण।

प्र3.

उपर्युक्‍त च‍ित्रित दोनों टुकड़ों को व्यवस्थित करके एक आकृति बनाइए जिसका परिमाप 22 सेमी हो।

उत्तर

ऊपर वाले नियम को उलटकर प्रयोग कीजिए।

32 − 2 × L = 22
2 × L = 32 − 22 = 10
L = 5 सेमी

अत: दोनों टुकड़े 5 सेमी पर स्पर्श करने चाहिए। दोनों 6 सेमी × 2 सेमी टुकड़ों को उनकी लंबी भुजाएँ मिलाकर रखिए, पर एक को 1 सेमी ऊपर खिसका दीजिए। तब 6 सेमी की भुजाओं में से 5 सेमी ही स्पर्श करेंगी (ऊपर के चित्र की अंतिम आकृति)।

सीमा पर चलिए: 2 + 1 + 2 + 6 + 2 + 1 + 2 + 6 = 22 सेमी ✔

संकेत: यदि लंबी भुजाएँ पूरी (6 सेमी) जोड़ दें तो फिर से 6 सेमी × 4 सेमी आयत बनेगा, जिसका परिमाप 32 − 12 = 20 सेमी है — सबसे कम संभव। टुकड़ों को खिसकाने पर परिमाप बढ़ता जाता है।

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