यह क्या सिखाता है:क्षेत्रफल समान होने का अर्थ परिमाप समान होना नहीं है। वर्ग जितनी अधिक भुजाएँ एक-दूसरे से चिपकाकर छिपाते हैं, सीमा उतनी ही छोटी होती जाती है।
प्र2.
9 इकाई वर्ग का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित को हल कीजिए— 1. सबसे छोटा संभव परिमाप क्या होगा?
उत्तर
सबसे छोटा संभव परिमाप 12 इकाई है, जो 3 × 3 के वर्ग से मिलता है।
3 × 3 वर्ग का परिमाप = 4 × 3 = 12 इकाई
इससे कम क्यों नहीं: अलग-अलग नौ वर्गों की कुल 9 × 4 = 36 भुजाएँ हैं। जब भी दो वर्ग जुड़ते हैं, सीमा से दो भुजाएँ हट जाती हैं। 3 × 3 वर्ग में 12 जोड़ हैं — 9 वर्गों के लिए अधिकतम संभव — अत: 36 − 2 × 12 = 12 इकाई सीमा बचती है। इससे अधिक जोड़ किसी भी व्यवस्था में संभव नहीं।
प्र3.
2. सबसे बड़ा संभव परिमाप क्या होगा?
उत्तर
सबसे बड़ा संभव परिमाप 20 इकाई है। ऐसी एक आकृति है नौ वर्गों की सीधी पट्टी (1 × 9 का आयत)।
1 × 9 आयत का परिमाप = 2 × (9 + 1) = 20 इकाई
20 ही अधिकतम क्यों: सभी वर्ग मिलकर एक जुड़ी हुई आकृति बनानी है, इसलिए 9 वर्गों को जोड़ने के लिए कम से कम 8 जोड़ चाहिए। हर जोड़ सीमा से 2 इकाई घटाता है, अत: परिमाप अधिक से अधिक
36 − 2 × 8 = 20 इकाई
हो सकता है। ठीक 8 जोड़ वाली हर आकृति — सीधी पट्टी, L, T या जोड़ का चिह्न — का परिमाप 20 इकाई होगा।
प्र4.
3. 18 इकाई परिमाप वाली एक आकृति बनाइए।
उत्तर
पहले देखिए कि कितने जोड़ चाहिए—
36 − 2 × (जोड़) = 18 → जोड़ = 9
अत: 9 जोड़ वाली आकृति चाहिए। नीचे की पंक्ति में 5 वर्ग और ऊपर की पंक्ति में 4 वर्ग रखिए, ऊपरी पंक्ति को इतना खिसकाइए कि केवल 2 वर्ग ही नीचे वाले वर्गों के ठीक ऊपर आएँ।
9 इकाई वर्गों की सीढ़ीनुमा आकृति: पंक्तियों के भीतर 4 + 3 जोड़ और पंक्तियों के बीच 2 जोड़ — कुल 9 जोड़, परिमाप 18 इकाई।
सीमा पर चलिए: 5 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 3 + 1 = 18 इकाई ✔
क्षेत्रफल अब भी 9 वर्ग इकाई है।
प्र5.
4. क्या आप उपरोक्त तीन परिमापों में से प्रत्येक के लिए अन्य आकार की आकृति बना सकते हैं या क्या उस परिमाप से केवल एक ही आकृति बन सकती है? आपका तर्क क्या होगा?
उत्तर
परिमाप
आवश्यक जोड़
कितनी भिन्न आकृतियाँ?
12 इकाई
12
केवल एक — 3 × 3 का वर्ग
18 इकाई
9
अनेक भिन्न आकृतियाँ
20 इकाई
8
अनेक भिन्न आकृतियाँ
तर्क—
परिमाप 12 अद्वितीय है। इसके लिए 12 जोड़ चाहिए, जो 9 वर्गों से बन सकने वाली अधिकतम संख्या है, और यह केवल सघन 3 × 3 वर्ग में ही संभव है। एक भी वर्ग हटाइए तो एक जोड़ टूटता है और परिमाप बढ़ जाता है।
परिमाप 20 के लिए केवल 8 जोड़ चाहिए — जुड़ी हुई आकृति में न्यूनतम। 1 × 9 की पट्टी, L आकार (6 + 4), T आकार और जोड़ का चिह्न — सबमें ठीक 8 जोड़ हैं, अत: सबका परिमाप 20 है।
परिमाप 18 के लिए 9 जोड़ चाहिए और ऐसी कई व्यवस्थाएँ बनती हैं — जैसे दो पंक्तियों में 5 + 4, या 2 × 4 के गुट के कोने पर एक वर्ग लटका हुआ।
याद रखने योग्य नियम: परिमाप = 4 × (वर्गों की संख्या) − 2 × (जोड़ों की संख्या)। इस एक पंक्ति से ऐसे सभी प्रश्न हल हो जाते हैं।
प्र6.
आइए, कुछ पेचीदा करते हैं, नीचे एक आकृति दी गई है, जिसका परिमाप 24 इकाई है। आकृति के पूरे परिमाप की पुनः गणना किए बिना अवलोकन कीजिए, विचार कीजिए और ज्ञात कीजिए कि यदि एक नया वर्ग आकृति में चित्रानुसार जोड़ दिया जाए, तो परिमाप में क्या परिवर्तन होगा?
उत्तर
कोई परिवर्तन नहीं होगा — परिमाप 24 इकाई ही रहेगा।
11 इकाई वर्गों की आकृति (परिमाप 24 इकाई)। नया वर्ग कोने में बैठता है और आकृति को अपनी दो भुजाओं पर छूता है।
देखिए नया वर्ग कहाँ जुड़ रहा है। वह एक कोने में बैठता है, अत: उसकी दो भुजाएँ आकृति से चिपककर छिप जाती हैं।
नया वर्ग 4 नई भुजाएँ लाता है।
उनमें से 2 छिप जाती हैं, और वे आकृति की 2 भुजाएँ भी छिपा देती हैं।
परिवर्तन = 4 − 2 × 2 = 0
नया परिमाप = 24 + 0 = 24 इकाई
तुरंत काम आने वाला नियम: यदि नया वर्ग आकृति को k भुजाओं पर छूता है तो परिमाप में परिवर्तन 4 − 2k होगा। अत: k = 1 → +2, k = 2 → कोई परिवर्तन नहीं, k = 3 → −2। क्षेत्रफल तो हर बार 1 वर्ग इकाई बढ़ता ही है।
प्र7.
नए वर्ग को भिन्न-भिन्न स्थानों पर रखिए और सोचिए कि परिमाप में क्या परिवर्तन हो रहे हैं। क्या आप इस वर्ग को इस प्रकार रख सकते हैं कि परिमाप में— a) वृद्धि हो; b) कमी हो; c) समान रहे?
उत्तर
हाँ — तीनों संभव हैं। नियम परिवर्तन = 4 − 2k का प्रयोग कीजिए, जहाँ k वह संख्या है कि नया वर्ग कितनी भुजाओं पर आकृति को छू रहा है।
कहाँ रखा
छूने वाली भुजाएँ (k)
परिवर्तन
नया परिमाप
a. सीधी बाहरी भुजा पर बाहर निकालकर
1
+2
26 इकाई
c. किसी भीतरी कोने में
2
0
24 इकाई
b. तीन ओर से घिरे खाँचे में
3
−2
22 इकाई
a) परिमाप बढ़ाने के लिए — उसे किसी सीधी बाहरी भुजा से जोड़िए, जहाँ वह केवल एक भुजा पर छुए। परिमाप 26 इकाई हो जाएगा।
b) परिमाप घटाने के लिए — उसे ऐसे खाँचे में रखिए जहाँ पहले से तीन ओर वर्ग हों। परिमाप 22 इकाई रह जाएगा।
c) परिमाप समान रखने के लिए — उसे भीतरी कोने में ठीक दो भुजाओं पर छूते हुए रखिए, जैसा पुस्तक के चित्र में दिखाया गया है।
यह कीजिए: दी गई आकृति में वह खाँचा खोजिए जो तीन ओर से घिरा है। वहाँ नया वर्ग रखने पर आकृति क्षेत्रफल में बड़ी पर परिमाप में छोटी हो जाती है — आश्चर्यजनक, पर पूरी तरह तर्कसंगत।
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