गणित प्रकाश अध्याय 8 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

डॉट पेपर पर एक आयत और चार वर्गों का प्रारूप खींचिए (जैसा आकृति 8.3 में दिखाया गया है)। आकृति को पुन: इस प्रकार बनाने के लिए कि चारों वर्ग सममित रूप से आयत के चारों ओर रखे जाएँ, आप क्या करेंगे? अपने सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए।

उत्तर

डॉट पेपर पर चरण

पहले बीच में आयत बनाइए — मान लीजिए 6 डॉट लंबा और 4 डॉट ऊँचा, जिसके कोने डॉट्स पर हों।
अब आयत के हर कोने से विकर्ण दिशा में उतने ही डॉट बाहर जाइए (दोनों दिशाओं में एक डॉट का अंतराल छोड़िए)।
वहाँ से 3 डॉट भुजा का छोटा वर्ग बनाइए, जिसका भीतरी कोना आयत के कोने की ओर हो।
चारों कोनों पर यही दोहराइए — हर बार वही अंतराल और वही नाप।

सममिति किससे आती है: चारों कोनों के साथ एक जैसा व्यवहार — समान अंतराल, समान नाप, समान विकर्ण दिशा। डॉट गिनने से यह अपने-आप हो जाता है, नापने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती।

स्वयं जाँचिए: आकृति को पहले खड़ी मध्य-रेखा पर और फिर पड़ी मध्य-रेखा पर मोड़िए। सही आकृति में चारों वर्ग एक-दूसरे पर ठीक बैठ जाएँगे।

प्र2.

पहचानिए कि क्या इस संग्रह में कोई वर्ग है। यदि आवश्यकता हो तो मापन का प्रयोग कीजिए।

उत्तर

केवल A एक वर्ग है। डॉट ग्रिड पर कोनों की स्थिति पढ़ लेना नापने से अधिक शीघ्र और विश्वसनीय है।

आकृति	विकर्णों के आधे भाग (डॉट पदों में)	भुजाएँ	कोण	यह क्या है
A	4 दाएँ, 4 नीचे	चारों बराबर	सभी 90°	वर्ग (घुमाया हुआ)
B	3 दाएँ, 4 नीचे	चारों बराबर	90° नहीं	समचतुर्भुज, वर्ग नहीं
C	5 दाएँ, 4 नीचे	चारों बराबर	90° नहीं	समचतुर्भुज, वर्ग नहीं
D	भुजाएँ: 1 दाएँ 2 नीचे तथा 2 दाएँ 1 ऊपर	दो लंबी, दो छोटी	सभी 90°	आयत, वर्ग नहीं

केवल A में भुजाएँ भी बराबर हैं और कोण भी समकोण, इसलिए केवल A वर्ग है। B और C की भुजाएँ बराबर हैं पर कोने तिरछे हैं; D के कोण समकोण हैं पर भुजाएँ असमान।

B और C क्यों नहीं: A में दोनों विकर्ण बराबर लंबाई के हैं (4 + 4 दाएँ तथा 4 + 4 नीचे), इसलिए चारों भुजाएँ 90° पर मिलती हैं। B में विकर्ण 6 और 8 डॉट-पद के हैं, C में 10 और 8 — कोने दब जाते हैं और कोण समकोण नहीं रहते, यद्यपि चारों भुजाएँ अब भी बराबर हैं।

प्र3.

सोचिए— उपरोक्त आकृति में बिना मापन उपकरणों को प्रयोग किए, क्या यह बताना संभव है कि भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, कोण समकोण हैं या नहीं? क्या हम यह केवल डॉट पेपर में शीर्षों की स्थिति देखकर ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर

हाँ — केवल डॉट्स ही पर्याप्त हैं। न रूलर चाहिए, न चाँदा।

भुजाएँ बराबर हैं या नहीं: हर भुजा को ग्रिड पर एक ‘चाल’ के रूप में लिखिए, जैसे “4 दाएँ और 4 नीचे”। दो भुजाएँ तभी बराबर हैं जब उनकी चाल के दोनों अंक वही हों (क्रम चाहे बदल जाए)। A में हर भुजा “4 और 4” की चाल है, अत: चारों भुजाएँ बराबर।
कोण समकोण है या नहीं: “4 दाएँ, 4 नीचे” वाली भुजा जहाँ “4 दाएँ, 4 ऊपर” वाली भुजा से मिलती है, वहाँ एक चाल को चौथाई घुमाने पर दूसरी चाल मिल जाती है — ऐसी स्थिति में कोना समकोण होता है।
D में चालें “2 दाएँ, 1 ऊपर” और “1 दाएँ, 2 नीचे” हैं — एक दूसरे की चौथाई घुमाई हुई रूप है, अत: D के कोण समकोण हैं, परंतु चालों की नाप अलग है, इसलिए भुजाएँ असमान हैं।

यह क्यों काम करता है: डॉट दोनों दिशाओं में समान दूरी पर हैं, इसलिए पद गिनना ही मापना है — जिसमें डॉट-अंतराल इकाई का काम करता है। समान चाल-युग्म का अर्थ है समान लंबाई, और चाल-युग्म का चौथाई घुमाव ही रेखा का चौथाई घुमाव अर्थात् 90° है।

प्र4.

डॉट पेपर पर कम से कम 3 घुमाए गए वर्ग और 3 घुमाए गए आयत खींचिए। उन्हें इस प्रकार खींचिए कि उनके कोने डॉट पेपर के डॉट्स (बिंदु) पर हों। जाँच कीजिए कि आपने जो वर्ग और आयत बनाए हैं, वे उनके संगत गुणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

उत्तर

‘चाल’ वाली युक्ति का प्रयोग कीजिए: एक चाल चुनिए, फिर अगली भुजा के लिए उसे चौथाई घुमा दीजिए।

आकृति	भुजाओं की चालें (क्रम से दोहराइए)	जाँच
घुमाया वर्ग 1	3 दाएँ 1 नीचे, फिर 1 बाएँ 3 नीचे, फिर 3 बाएँ 1 ऊपर, फिर 1 दाएँ 3 ऊपर	सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔
घुमाया वर्ग 2	2 दाएँ 2 नीचे, 2 बाएँ 2 नीचे, 2 बाएँ 2 ऊपर, 2 दाएँ 2 ऊपर	सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔
घुमाया वर्ग 3	4 दाएँ 1 नीचे, 1 बाएँ 4 नीचे, 4 बाएँ 1 ऊपर, 1 दाएँ 4 ऊपर	सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔
घुमाया आयत 1	लंबी भुजा 4 दाएँ 2 नीचे, छोटी भुजा 1 बाएँ 2 नीचे	सम्मुख भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔
घुमाया आयत 2	लंबी भुजा 3 दाएँ 1 नीचे, छोटी भुजा 1 बाएँ 3 नीचे	सम्मुख भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

जाँच कैसे करें: चारों भुजाएँ रूलर से नापिए (वर्ग में चारों बराबर; आयत में युग्मों में बराबर) और हर कोने पर सेट-स्क्वायर का कोना या मुड़े हुए कागज़ का कोना रखिए — हर कोने पर वह ठीक बैठना चाहिए।

संकेत: किसी चाल को चौथाई घुमाने के लिए दोनों संख्याएँ आपस में बदल दीजिए और एक दिशा उलट दीजिए: “3 दाएँ 1 नीचे” बन जाएगी “1 बाएँ 3 नीचे”। ऐसा चार बार करने पर आप आरंभ पर लौट आते हैं — आकृति स्वयं बंद हो जाती है।

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