गणित प्रकाश अध्याय 8 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
तो, क्या एक आयत का नाम उसके कोनों के लेबलों के किसी भी संयोजन का उपयोग करके रखा जा सकता है? नहीं! उदाहरण के लिए, इसे ABDC या ACBD से नामित नहीं किया जा सकता। क्या आप देख सकते हैं कि कौन से नाम मान्य हैं और कौन से मान्य नहीं हैं?
उत्तर

नहीं, कोई भी संयोजन मान्य नहीं होता। नाम तभी मान्य है जब अक्षर सीमा पर चलने के क्रम में आएँ — किसी भी कोने से आरंभ करके, दक्षिणावर्त या वामावर्त किसी भी दिशा में।

आकृति 8.4 के आयत के लिए (A ऊपर-बाएँ, B ऊपर-दाएँ, C नीचे-दाएँ, D नीचे-बाएँ):

मान्य नाम (कुल 8)मान्य नहीं
ABCD, BCDA, CDAB, DABCABDC
ADCB, DCBA, CBAD, BADCACBD, ACDB, BDAC …
क्यों: नाम से यह पता चलना चाहिए कि कौन-से कोने जुड़े हैं। ABCD में भुजाएँ AB, BC, CD और DA हैं — चारों वास्तविक भुजाएँ। ABDC में B को D से जोड़ना पड़ेगा, जो भुजा नहीं बल्कि विकर्ण है। अत: वह नाम किसी दूसरी ही आकृति का वर्णन करता है।
त्वरित जाँच: अक्षरों को गोलाई में पढ़िए। यदि हर पड़ोसी युग्म (अंतिम और पहले सहित) आकृति की भुजा है, तो नाम मान्य है।
प्र2.
इनमें से कौन-सा नाम चित्र में दिखाए गए वर्ग के लिए मान्य नहीं है? 1. PQSR 2. SPQR 3. RSPQ 4. QRSP
उत्तर

दिए गए वर्ग की सीमा पर चलने पर कोने इस क्रम में आते हैं — S → P → Q → R → S (S ऊपर-बाएँ, P ऊपर-दाएँ, Q नीचे-दाएँ, R नीचे-बाएँ)।

नामइसके अनुसार भुजाएँमान्य?
1. PQSRPQ, QS, SR, RPनहीं — QS और RP विकर्ण हैं
2. SPQRSP, PQ, QR, RSहाँ
3. RSPQRS, SP, PQ, QRहाँ
4. QRSPQR, RS, SP, PQहाँ

उत्तर: विकल्प 1 — PQSR इस वर्ग का नाम नहीं है।

ऐसा क्यों: विकल्प 2, 3 और 4 एक ही चक्कर हैं, बस आरंभ अलग-अलग कोने से है। PQSR में Q से सीधे S पर छलाँग लगती है, और Q तथा S सम्मुख कोने हैं — यह विकर्ण है, इसलिए अक्षर सीमा पर नहीं चलते।
प्र3.
यहाँ चित्र में एक वर्गाकार कागज का टुकड़ा दिया गया है, जिसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की हैं और सभी कोण 90° के बराबर हैं। इसे चित्र में दिखाए अनुसार घुमाया जाता है। क्या यह अब भी एक वर्ग है?
उत्तर

हाँ, यह अब भी वर्ग है। घुमाए हुए कागज पर वर्ग के दोनों गुण जाँचिए—

  • S1 — क्या अब भी सभी भुजाएँ बराबर हैं? हाँ। घुमाने से कोई भुजा न बढ़ती है, न घटती है।
  • S2 — क्या अब भी सभी कोण 90° के हैं? हाँ। घुमाने से कोई कोना न खुलता है, न बंद होता है।
एक वर्ग अब भी वर्ग
वही कागज, घुमाकर रखा गया। भुजाएँ और कोण अछूते रहते हैं, इसलिए S1 और S2 दोनों गुण बने रहते हैं।
ऐसा क्यों होता है: कोई आकृति अपनी लंबाइयों और कोणों के कारण वर्ग होती है, इस कारण नहीं कि वह किस दिशा में रखी है। घुमाने से आकृति का स्थान बदलता है, कोई माप नहीं। इसी तर्क से घुमाया गया आयत भी आयत ही रहता है
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