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गणित प्रकाश अध्याय 8 रचना कीजिए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
6 सेमी और 4 सेमी लंबी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए? रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?
उत्तर

रचना के चरण

  1. AB = 6 सेमी खींचिए।
  2. A पर तथा B पर AB के लंब खींचिए।
  3. परकार में 4 सेमी लीजिए। नोंक A पर रखकर पहले लंब को D पर काटिए; नोंक B पर रखकर दूसरे लंब को C पर काटिए।
  4. DC को मिलाइए। ABCD ही अभीष्ट आयत है।
A B C D 6 सेमी 4 सेमी
आयत ABCD, जिसमें AB = 6 सेमी और AD = 4 सेमी है। चारों कोने समकोण हैं।

दोनों गुणों की जाँच

R1   AB = DC = 6 सेमी,   AD = BC = 4 सेमी → सम्मुख भुजाएँ बराबर ✔
R2   ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ✔

अत: बनाई गई आकृति वास्तव में एक आयत है।

प्र2.
2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए? रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?
उत्तर

चरण बिल्कुल वही हैं, केवल संख्याएँ बदलती हैं।

  1. PQ = 10 सेमी खींचिए।
  2. P और Q पर PQ के लंब खींचिए।
  3. परकार में 2 सेमी लेकर दोनों लंबों को काटिए — P से S और Q से R।
  4. SR को मिलाइए। PQRS ही आयत है।
P Q R S 10 सेमी 2 सेमी
एक लंबा-पतला आयत: 10 सेमी × 2 सेमी। दिखने में अनोखा है, पर है आयत ही — दोनों गुण पूरे होते हैं।
R1   PQ = SR = 10 सेमी,   PS = QR = 2 सेमी ✔
R2   ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90° ✔
संकेत: इतने लंबे आयत के लिए 10 सेमी का आधार कॉपी की लंबाई की ओर खींचिए और सेट-स्क्वायर को मजबूती से दबाइए, अन्यथा दोनों छोटी भुजाएँ तिरछी बन जाएँगी।
प्र3.
क्या 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृति की रचना करना संभव है, जिसमें— • सभी कोण 90° के बराबर हों, परंतु • सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हों?
उत्तर

नहीं, ऐसा संभव नहीं है। यदि चारों कोण समकोण हैं, तो सम्मुख भुजाओं का बराबर होना अनिवार्य हो जाता है — इससे बचा नहीं जा सकता।

प्रयास करके देखिए कि क्या होता है—

  1. AB खींचिए और A तथा B पर AB के लंब खींचिए। दोनों रेखाएँ AB से 90° बनाती हैं, अत: एक ही दिशा में जाती हैं — वे समांतर हैं और सदैव समान दूरी पर रहती हैं।
  2. पहली रेखा पर D और दूसरी पर C अंकित कीजिए। ∠D और ∠C भी 90° चाहिए, तो DC को दोनों रेखाओं पर लंब होना पड़ेगा।
  3. परंतु दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी हर जगह समान होती है, अत: DC = AB, और D तथा C समान ऊँचाई पर होंगे, अर्थात् AD = BC।
चारों कोण 90°  →  सम्मुख भुजाएँ समांतर  →  सम्मुख भुजाएँ बराबर
ऐसा क्यों होता है: चार भुजाओं वाली आकृति में केवल चार कोने होते हैं। चारों कोण 90° तय कर देने पर केवल दो लंबाइयाँ चुनने की छूट बचती है — और वे ही लंबाइयाँ सम्मुख भुजाओं पर दोहरा जाती हैं। अत: चार समकोणों वाली हर चतुर्भुज आकृति आयत होती है (और दोनों लंबाइयाँ बराबर हों तो वर्ग)।
प्रयास करें: AB = 5 सेमी खींचिए, A और B पर लंब बनाइए, फिर AD = 3 सेमी और BC = 4 सेमी लेकर DC मिलाइए। ∠D और ∠C नापिए — वे 90° नहीं होंगे, एक अधिक और दूसरा कम मिलेगा।
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