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गणित प्रकाश अध्याय 8 रचना कीजिए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता हो।
उत्तर

पहले देख लीजिए कि 50 + 40 = 90 है, अत: ऐसा आयत संभव है।

रचना के चरण

  1. AB = 5 सेमी खींचिए (कोई भी सुविधाजनक लंबाई)।
  2. B पर AB का लंब खींचिए।
  3. A पर AB से 50° का कोण बनाती किरण खींचिए। जहाँ वह लंब से मिले, वहाँ C अंकित कीजिए।
  4. A पर AB का लंब तथा C पर BC का लंब खींचिए। वे D पर मिलते हैं।
  5. CD मिलाइए। ABCD ही अभीष्ट आयत है; विकर्ण AC, ∠A को 50° और 40° में बाँटता है और ∠C को भी इसी प्रकार।
जाँच: 50° + 40° = 90° = ∠A ✔
AB = 5 सेमी लेने पर BC ≈ 6 सेमी बनता है
संकेत: 50° बहुत सावधानी से अंकित कीजिए। किरण 2° भी इधर-उधर हुई तो दूसरा भाग 40° नहीं आएगा और आयत ठीक से बंद नहीं होगा।
प्र2.
एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 45° और 45° में विभाजित करता हो। आप इसकी भुजाओं के बारे में क्या देखते हैं?
उत्तर

रचना के चरण

  1. AB = 5 सेमी खींचिए। B पर AB का लंब खींचिए।
  2. A पर AB से 45° का कोण बनाती किरण खींचिए; वह लंब को C पर काटती है।
  3. पहले की तरह आयत पूरा करके D प्राप्त कीजिए।

प्रेक्षण: चारों भुजाएँ बराबर निकलती हैं — यह आयत वास्तव में एक वर्ग है।

AB = 5 सेमी तथा BC = 5 सेमी
अत: AB = BC = CD = DA → यह वर्ग है
विकर्ण AC ≈ 7.1 सेमी
ऐसा क्यों होता है: जो विकर्ण AB से 45° का कोण बनाता है, वह दोनों भुजाओं की ओर बराबर झुका होता है, इसलिए वह जितना आगे बढ़ता है उतना ही ऊपर चढ़ता है: BC = AB। जैसे ही दो आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं, चारों बराबर हो जाती हैं और आयत वर्ग बन जाता है। पृष्ठ 204 के “खोजिए” प्रश्न का उत्तर भी यही है।
प्र3.
एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 4 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है।
उत्तर

रचना के चरण

  1. आधार DC = 4 सेमी खींचिए।
  2. C पर DC का लंब खींचिए — इसे l कहिए।
  3. परकार में 8 सेमी लेकर नोंक D पर रखिए और l को B पर काटता चाप खींचिए।
  4. D पर DC का लंब तथा B पर CB का लंब खींचिए; वे A पर मिलते हैं। आकृति पूरी कीजिए।
दूसरी भुजा CB इस प्रकार निकलती है: 4 सेमी आर-पार, 8 सेमी तिरछाई
CB ≈ 6.9 सेमी

जाँच: DC = AB = 4 सेमी, CB = DA ≈ 6.9 सेमी, सभी कोण 90°, तथा दूसरा विकर्ण AC भी 8 सेमी।

संकेत: विकर्ण सदैव किसी भी भुजा से लंबा होता है। 4 सेमी भुजा के साथ 4 सेमी से छोटा विकर्ण असंभव है — चाप रेखा l तक पहुँचेगा ही नहीं।
प्र4.
एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 3 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 7 सेमी है।
उत्तर

रचना के चरण

  1. DC = 3 सेमी खींचिए।
  2. C पर DC का लंब l खींचिए।
  3. नोंक D पर रखकर 7 सेमी त्रिज्या का चाप खींचिए, जो l को B पर काटे।
  4. D और B पर लंब खींचकर A प्राप्त कीजिए और आयत पूरा कीजिए।
दूसरी भुजा CB ≈ 6.3 सेमी
जाँच: DC = AB = 3 सेमी, CB = DA ≈ 6.3 सेमी, सभी कोण = 90°
दूसरी भुजा क्यों नहीं दी गई: एक भुजा और एक विकर्ण मिलकर आयत को पूरी तरह निश्चित कर देते हैं। DC और विकर्ण DB तय हो जाने पर C का समकोण B के लिए केवल एक ही स्थान छोड़ता है — इसलिए CB को चुना नहीं जा सकता, वह स्वयं तय हो जाती है।
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